22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数 二次函数 二次函数 y = ax2 的图象和性质 新知一览 二次函数与一元二次方程 二次函数 y = a(x - h)2 + k的图象和性质 二次函数 y = ax2 + bx + c的图象和性质 第二十二章 二次函数 22.1.3 二次函数 y = a(x − h)2 + k 的 图象和性质 第3课时 二次函数 y = a(x − h)2 + k 的图象和性质 人教版九年级（上） 2 新课导入 1. 抛物线 y = ax2 经过怎样的移动可以得到抛物线 y = a(x - h)2，y = ax2 + k？ y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h)2 上下平移 左右平移 上下左右平移 知识点1： 二次函数 y=a(x - h)2 + k 的图象和性质 探究新知 探究1：从函数解析式研究图象和性质. x 的取值范围 y 的取值范围 当 x 取多少时， y 有最值 全体实数 y≤-1 x = -1时，y 有最大值，最大值为 -1 操作与思考：画出二次函数 的图象. 探究2：用“描点法”法作图研究图象性质 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 解：先列表； 例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：___________ ___________________ ______________________________. 再描点、连线. 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 向下 直线 x = -1 (−1，−1) 当 x＜-1 时， y 随 x 增大而增大； 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性： _________________________ __________________________. 试一试 画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并填空. -2 2 x y O -2 4 6 -4 2 4 向上 直线 x = -1 (−1，-2) 当 x＜1 时，y 随 x 增大而减小； 当 x＞1 时，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＞0) 的性质是什么？ 归纳总结 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，k) (h，k) 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小 例2 已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点 (1，− 2)． (1) 指出抛物线的对称轴； (2) 求 a 的值； 解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. 典例精析 (3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 试比较 y1 与 y2 的大小． ∴ y1＜y2. 解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， O 知识点2 二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 画一画，填出下表： -2 2 -2 -4 x y 想一想： 怎样移动可以得到 ？ 向下 向下 向下 向下 x = 0 x = 0 x = -1 x = -1 (0,0) (0,-1) (-1,0) (-1,-1) 向左平移1个单位长度 平移方法1 1 个单位长度 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 例3 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 归纳总结 y = ax2 y = ax2±k y = a(x±h)2 y = a( x±h )2±k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移， 常数项上加下减； 左右平移， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 链接中考 1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( ) A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1 C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3 A 想一想 b3 ___ 0 k3 ___ 0 问题 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： k1 ___ 0 b1 ___ 0 k4 ___ 0 b4 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞ x y O y = k1x + b1 x y O y = k3x + b3 y = k4x + b4 y = k2x + b2 k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＜ ＜ 试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 ) a＞0， h＜0 a＞0， h＞0 a＜0， h＜0 a＜0， h＞0 例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　) 解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A. A 归纳总结 结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标. h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；h＞0，对称轴在 y 轴的右侧； k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧. ③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性. 说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0) 图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用. 例5 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长? 抛物线形水柱 建立数学模型 二次函数 解析式 C(3，0) B(1，3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解：建立如图的平面直角坐标系， 点( 1，3 )是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 ∵ 这段抛物线经过点 ( 3，0 )， ∴ 0 = a(3－1)2＋3. 解得 ∴ 抛物线的解析式为 y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当 x = 0 时，y = 2.25. 答：水管长应为 2.25 m. a = - . 3 4 y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3). 3 4 - 当堂小结 一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质 图象特点 当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下. 对称轴是 x = h， 顶点坐标是 (h，k) 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减. 当堂练习 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2(x＋3)2＋5 向上 (1，－2) 向下 向下 (3，7) (2，－6) 向上 直线 x = －3 直线 x = 1 直线 x = 3 直线 x = 2 (－3，5) y =－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y =－5(2－x)2－6 1. 完成下列表格： 2. 已知函数 y＝﹣(x﹣4)2﹣1. (3) 怎样移动抛物线 y＝﹣x2，就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1? (1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　 　 ，顶点坐标为　 　 ； (2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小； 向下 直线 x＝4 (4，﹣1) ＞4 解：将抛物线 y＝﹣x2 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1. 3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)． (1) 求 a 的值； (2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系． (1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4， (2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2. 解： 解得 a＝1. 方法二： ∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1， ∴ 当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称. ∴ ，化简，得 2m＋n＝2. 要点归纳：对于抛物线 y＝a(x－h)2 + k(a≠0) 上的两个不同点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若 y1 = y2，则必有 ，即 x1 + x2 = 2h. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $