22.1.3 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数 二次函数 二次函数 y = ax2的图象和性质 新知一览 二次函数与一元二次方程 二次函数 y = a(x - h)2 + k的图象和性质 二次函数 y = ax2 + bx + c的图象和性质 第二十二章 二次函数 22.1.3 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的 图象和性质 第1课时 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质 人教版九年级（上） 2 新课导入 特殊： y = ax² (a≠0) 通过平移 特殊 y = kx(k≠0) 一般 y = kx + b (k≠0) 通过平移 类比一次函数： x 的取值范围 y 的取值范围 y = 2x² + 1 y = 2x² - 1 知识点1： 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质 探究新知 操作与思考1(a＞0)：在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x² + 1 ， y = 2x² - 1 的图象. 探究1：从函数解析式研究图象和性质. (1) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？ 可以猜测图象的对称性吗？ 相等. 猜想：关于 y 轴对称. 全体实数 y≥1 全体实数 y≥-1 x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=2x²+ 1 ··· ··· y=2x²- 1 ··· ··· 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 3.5 1 −0.5 1 −0.5 −1 3.5 解：列表如下： 9 7 9 7 探究2：用“描点法”法作图 描点、连线，画出这两个函数的图象. y = 2x² - 1 y = 2x² + 1 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向上 y 轴 (0，1)， (0，−1) y = 2x2 + 1 y = 2x2 - 1 想一想 (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、________； (6) 函数的增减性都相同： ___________________________ ___________________________. 低 小 y = −1 y = 1 对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧 y 随 x 增大而增大 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＞0) 的性质是什么？ y = 2x2 + 1 y = 2x2 - 1 操作与思考2(a＜0)： 在同一坐标系内画出 y = -2x² + 1，y = -2x² - 1 的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向下 y 轴 (0，1)， (0，−1) 想一想 1 O -1 1 x y -1 -2 y = -2x2 + 1 y = -2x2 - 1 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 高 大 y = −1 y = 1 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 1 O -1 1 x y -1 -2 y = -2x2 + 1 y = -2x2 - 1 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 归纳总结 二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的性质 y = ax2 + k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y 轴 y 轴 (0，k) 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x = 0 时，y最大值 = k 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大；x＜0时，y 随 x 的增大而减小 (0，k) 例1 关于二次函数 y = 2x2 + 4，下列说法错误的是 ( ) A．其图象的开口方向向上 B．当 x = 0 时，y 有最大值 4 C．其图象的对称轴是 y 轴 D．其图象的顶点坐标为 (0，4) B 典例精析 分析：当 x = 0 时，y 有最小值 4 例2 关于抛物线 y = −x2 + 1 与 y = x2 − 1，下列说法正确的是（　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大 C 分析： y = −x2 + 1 y = x2 − 1 开口方向： 顶点： 对称轴： 增减性： 向下 向上 (0，1) (0，−1) y 轴 y 轴 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 知识点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 做一做：填写下表，画出二次函数 y = 2x² ， y = 2x2 + 1 ， y = 2x2 − 1的图象. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y = 2x2 + 1 … … y = 2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y = 2x2 -1 … … 3.5 1 −0.5 1 −0.5 −1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y = 2x2 + 1 y = 2x2 y = 2x2 − 1 观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. -1 解析式 y = 2x2 y = 2x2 + 1 y = 2x2 − 1 +1 −1 点的坐标 函数对应值表 x … −1.5 −1 0 1 y=2x2-1 … y=2x2 … y=2x2+1 … 4.5 3.5 5.5 2 1 3 2 1 (x， ) (x， ) (x， ) 2x2−1 2x2 2x2 + 1 从数的角度探究 3 −1 0 1 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y = 2x2 + 1 y = 2x2 y = 2x2 − 1 从形的角度探究 可以发现，把抛物线y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物 线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 . 下 y = 2x2 + 1 上 -1 y = 2x2 - 1 想一想 1. 抛物线 y = ax2 + k (a≠0) 与抛物线 y = ax2 有什么关系？ y = ax2 y = ax2 + k (k＞0) y = ax2 y = ax2 - k (k＞0) 向上平移 k 个单位 向下平移 k 个单位 上下平移规律： 二次项不变，常数项上加下减. 1. 将二次函数 y = -2x2﹣2 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是 . y = -2x2 + 1　 链接中考 2. 抛物线 y = ax2 + k (a≠0) 中的 a 决定什么？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ a 决定开口方向和大小，k 决定顶点的纵坐标； 对称轴为 y 轴；顶点坐标为 (0，k). 想一想 当堂小结 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax2 (a≠0)的关系 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. k 决定顶点位置； 3. 对称轴是 y 轴 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 平移规律： 上加下减 当堂练习 1. 填表： 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点 y = 3x2 y = 3x2＋1 y = -4x2-5 向上 向上 向下 (0，0) (0，1) (0，−5) y 轴 y 轴 y 轴 有最低点 有最低点 有最高点 2. 已知 (m，n) 在 y = ax2 + a (a≠0) 的图象上，则点 (−m，n) ____ (填“在”或“不在”) y = ax2 + a (a≠0) 的图象上. 在 3. 已知抛物线 y = (a − 2)x2 + a2 − 2 的最高点为 (0，2)，则 a =____. − 2 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $