22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数 二次函数 二次函数 y = ax2的图象和性质 新知一览 二次函数与一元二次方程 二次函数 y = a(x - h)2 + k的图象和性质 二次函数 y = ax2 + bx + c的图象和性质 第二十二章 二次函数 22.1.3 二次函数 y = a(x − h)2 + k 的图象和性质 第 2 课时 二次函数 y = a(x − h)2 的图象和性质 人教版九年级（上） 2 新课导入 y = ax2 y = ax2 + k 上下平移 想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移后会得到新的抛物线吗？ 知识点1： 二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的图象和性质 探究新知 探究1：从函数解析式研究图象和性质. x 的取值范围 y 的取值范围 当 x 取多少时， y 有最值 全体实数 y≤0 全体实数 y≤0 x = 1 时，y 有最大值 x = -1 时，y 有最大值 操作与思考：画出二次函数 的图象. x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· −2 −4.5 −2 0 0 −2 −2 −4.5 −8 −8 解：列表如下： 探究2：用“描点法”法作图 例1 画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． -2 2 -2 -4 -6 4 -4 O x y 描点、连线，如图所示： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x = -1 (−1，0) 直线 x = 1 向下 (1，0) 想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 (a＜0)的图象特征和性质是什么？ (1) 顶点都是最____点，函数都 有最____值，都为_______； (2) 函数的增减性： 根据图象回答下列问题: 做一做 高 大 y = 0 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＜0) 的性质是什么？ 当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大 当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小 当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大 -2 2 -2 -4 4 -4 O x y 例2 画出二次函数 y = 2(x + 1)2，y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 解：列表如下： x ··· −2 −1 −0.5 0 0.5 1 2 ··· ··· ··· ··· ··· 0 2 8 8 0 2 2 18 18 2 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 0.5 4.5 4.5 0.5 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 从左到右对称轴分别是都 是 ； (4) 从左到右顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向上 x = -1，x = 1 (1，0) (−1，0)， 想一想 (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______； (6) 函数y = 2(x + 1)2的增减性 ： ___________________________ ___________________________； 低 小 y = 0 当 x＜-1 时，y 随 x 增大而减小， 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而增大 说一说 ： y = 2(x - 1)2 的增减性 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？ 归纳总结 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，0) (h，0) 当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小. 例3 已知二次函数 y＝ (x﹣1)2． (1) 画出图象，并写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (2) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 解：对称轴为直线 x = 1. 顶点坐标为 (1，0). 解：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. O -1 2 2 4 4 -2 x y 3 1 (3) 若 3≤x≤5，求 y 的取值范围； 想一想：若 −1≤x≤5，y 的取值范围是什么？ 解：∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x = 3 时，y = 2；当 x = 5 时，y = 8， ∵当 −1≤x≤5 时，y 的最小值为 0， ∴当−1≤x≤5时，y 的取值范围是 0≤y≤8. 注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值 ∴当 3≤x≤5 时，y 的取值范围是 2≤y≤8. O -1 2 2 4 4 x y 3 1 (4) 若抛物线上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2＜1， 试比较 y1 与 y2 的大小． 解：∵ m＞1，∴ 1＜m＜m + 1. 变式：若点 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在抛物线的图象上，且 m＞1，试比较 y1，y2 的大小，并说明理由． 解：∵ 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x1＜x2＜1 时，y1＞y2. ∵ 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ y1＜y2. O -1 2 2 4 4 x y 知识点2 二次函数y=ax2与y=a(x - h)2(a≠0)的图象的关系 想一想 抛物线 y = 2(x + 1)2， y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 有什么样的关系？ 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. (1，2 ) (2，8 ) y = 2x2 从平移后对应点的坐标的角度探究 (1，8 ) (2，8 ) (0，2 ) 类似地，可以说下抛物线 y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 的关系. (1，2 ) 横坐标减 1 (1，8 ) (0，2 ) y=2(x+1)2 向左平移 1 个单位长度 y = 2(x + 1)2 y = 2x2 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 y = 2x2 向右平移 1 个单位 向左平移 1 个单位 向 x 轴正方向平移 向 x 轴负方向平移 从形的角度探究 y = 2x2 向左平移 1 个单位 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 向右平移 1 个单位 O −2 2 -2 -4 -6 4 −4 x y 归纳总结 y = ax2 向右平移 h 个单位 y = a(x - h)2 向左平移 h 个单位 y = a(x + h)2 左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变. 当 h > 0： 链接中考 1. (武汉) 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　) A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度 C. 向左平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 1 个单位长度 C 当堂小结 探索 y =a(x±h)2的图象及性质 开口方向及增减性 对称轴 直线 x = h (h，0) a > 0，开口向上 a < 0，开口向下 a 的符号和 h 的值决定增减性 y = ax2 左右平移 h 个单位 顶点坐标 平移规律： 自变量 左加右减， 括号外 保持不变. 当堂练习 1. 指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 (3，0) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2，0) (1，0) 4. 若 (- ，y1)，(- ，y2)，( ，y3) 为二次函数 y = (x - 2)2 图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的大小关系为_____________. 2. 如果二次函数 y＝a(x﹣1)2 (a≠0) 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是______． a＞0 3. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是 . y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2 y1 ＞y2 ＞ y3 5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x - 2)2 的图象，并指出两个图象之间的平移关系． 解：图象如图. 函数 y = 2(x - 2)2 的图象可由函数 y = 2x2 的图象向右平移 2 个单位长度得到. y = 2x2 2 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $