22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

nullnullnullnull 二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数 二次函数 二次函数 y = ax2 的图象和性质 新知一览 二次函数与一元二次方程 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 第二十二章 二次函数 22.1.2 二次函数 y = ax2 的图象和性质 人教版九年级（上） 2 问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？ 新课导入 追问1：你是怎么想到的？ 图象和性质 类比一次函数 通过具体实例认识这种函数 研究图象和性质 解决实际问题 探索与相应方程的联系 追问2：怎样研究二次函数的图象和性质？ 一次函数的图象和性质 图象 特殊 y = kx(k≠0) 一般 y = kx + b (k≠0) 描点法： 列表，描点，连线 二次函数的图象和性质 图象 特殊 一般 知识点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 探究新知 问题1：二次函数 y = ax² + bx + c 定义中系数 a≠0， b、c 呢？ 都可以为 0 最特殊： y = ax² (a≠0) 从特殊到一般 y = ax² + bx + c (a≠0) 问题2：怎么研究 y = ax² (a≠0) 的图象和性质？ a 的具体数值 从特殊到一般 y = ax² (a≠0) 操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征. 合作探究 探究1：从函数解析式研究图象和性质. (1) 自变量 x 的取值范围是什么？ (2) 函数值 y 的取值范围是什么？ (3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？ 可以猜测图象的对称性吗？ 全体实数 ( y≥0 ) 相等. 如： x =±2 时， y = 4. 猜想：关于 y 轴对称. 如： (2，4) 与 (-2，4) 等. 探究2：用“描点法”法作图 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数. 列表表示几组对应值： 2 4 -2 -4 O 2 4 6 x y 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y). 3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．(能用直线连接吗？) 同学们展示下自己的结果，并交流下做法？ 8 思考：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？ (可以从以下几个方面考虑) (1) 你能描述图象的形状吗？ (2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. (3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？ (4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？ 你是如何知道的？ (1) 你能描述图象的形状吗？ 类似 抛物线 y = x2 2 4 -2 -4 O 2 4 6 x y 8 2 4 -2 -4 O 2 4 6 x y 8 (2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴. 图象是轴对称图形 (3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？ 观察图象可以发现： 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. 1 2 -2 O -1 1 4 x y (-2，4) (-1，1) (2，4) (1，1) 3 2 y = x2 点击 开始播放 (4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？ 你是如何知道的？ 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为 (0，0). 1 2 -2 O -1 1 4 x y 3 2 顶点 y = x2 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 解：列表如下： x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 O -2 2 2 4 6 4 -4 8 描点、连线，如图所示： x y y = 2x2 思考：(1) 函数 y = 2x2 的图象与函数 y = x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 想一想 点击视频开始播放 共同点：是开口向上，对称轴是 y 轴， 顶点是原点，也是抛物线的最低点； 不同点：是开口大小不同. (2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？ 当 a＞0 时，a 越大，开口越小. O -2 2 2 4 6 4 -4 8 x y y = 2x2 y = x2 y＝ax2 a > 0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 a 越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大. 归纳总结 练一练 1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点； 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ， 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ； 点 A(2，y1) 在抛物线上，则 y1 = ________. 点 A(2，16) 关于对称轴的对称点的坐标是_________. 向上 y 轴 (0，0) 低 减小 增大 (−2，16) 16 链接中考 1. (广州)已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 A(-2，y1)，B(1，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是 ( ) A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0 C y＝ax2 a ＜ 0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 小组讨论，如何归纳总结出下表？ 知识点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 合作探究 点击视频开始播放 (1) 在同一直角坐标系中，画出函数 观察图象，思考这些抛物线有什么相同点和不同点？ 想一想 当 a＜0 时，a 越小，抛物线的开口越小. 共同点是开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点； 不同点是开口大小不同. (2) 当 a＜0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？ −2 2 -2 -4 -6 4 −4 -8 x y y = -2x2 O y = -x2 问题：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？ y 2 4 -2 -4 O -2 -4 -6 x (2，−4) (−2，−4) (3，−9) (−3，−9) y = -x2 -8 观察图象可以发现： 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小. 顶点是抛物线的最高点，为 (0，0). 顶点 归纳总结 y＝ax2 a ＜ 0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向下 当 x = 0 时，y最大值 = 0 a 越小，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x > 0 时，y 随 x 增大而增小；当 x < 0 时，y 随 x 增大而减大. 观察下列图象，抛物线 y = ax2 与 y = −ax2 (a＞0) 的关系是什么？ 二次项系数互为相反数时， 开口方向相反，开口大小相同，它们关于 x 轴对称. x y O y = ax2 y = −ax2 想一想 例2 已知二次函数 y＝ax2. (1) 若 a = 2，点(−2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)； ＜ (2) 若 a＞0，点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)； (3) 若 a＜0，点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________. ＜ y1＞y2＞y3 分析：(1)将 x = -2，3 分别代入 y = 2x2，得出 y1，y2 的值，再比较大小. (2)根据 a＞0，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大得出结论. (3)画出草图，在图象上标出 y1，y2，y3，直观得出结论. 当堂小结 二次函数 y = ax2 的图象及性质 画法 描点法 在对称轴两侧对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4 个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 开口向下 | a | 越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 y O x y O x 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0 时，y随x增大而增大 当x>0时，y随x增大而增大； 当x<0 时，y随x增大而减小 当堂练习 1. 如右图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 . x y k > 1 2. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点. 开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y 轴 y 轴 y 轴 y 轴 (0，0) (0，0) (0，0) (0，0) O 二次函数 3. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0) 过点 (−1，2)，则 (1) a 的值是 ； (2) 对称轴是 ，开口 ； (3) 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点， 抛物线在 x 轴的 方（除顶点外）； (4) 若 A(x1 , y1)，B(x2 , y2) 在这条抛物线上，且 x1< x2<0， 则 y1 y2. 2 y 轴 向上 (0，0) 低 上 ＞ 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $nullnullnull