21.3 第3课时 几何面积问题与一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程 新知一览 直接开平方法 配方法 实际问题与一元二次方程 公式法 因式分解法 一元二次方程的根与系数的关系 传播问题 几何图形 平均变化率 人教版九年级（上） 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 21.3 第3课时 几何面积问题与一元二次方程 2 引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 导入新课 知识点1：几何图形与一元二次方程 引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 27 cm 21cm 探究新知 请尝试分析一下此题的解题思路并回答下述五个问题. 分析: 审题 27 cm 21cm 正中央与封面长宽比例相同 找关系式 设合适的未知数 找等量关系 设元 中央矩形面积= ×封面面积 合作探究 ①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是 27∶21 = 9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推： 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm 和 7a cm. 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 合作探究 ②设上、下边衬的宽均为 9x cm，而不是设为 x cm，这样做有什么好处？ 列出的方程为整数式，方便计算. ③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？ 原方程可化为 ④方程的哪个根符合实际意义？为什么？ 符合实际意义，因为 时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况. ⑤请尝试换一种设未知数的方法，更简单的解决上 述问题. 解：设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm， 左、右的边衬的宽为： 上、下的边衬的宽为： 解得 列方程得： 动手实践 总结 在几何图形的面积问题中： 规则图形：面积公式. 不规则图形：割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 方法总结 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 还有其他列法吗？ 方法一： 典例精析 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 方法二： 解决有关图形面积问题： (注：这里的横坚斜小路的的出入口宽度都相等) 平移转化 总结 方法总结 1.(襄阳)改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长 (AD)16 m，宽 (AB)9 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为 112 m2，则小路的宽应为多少？ A B D C 解：设小路的宽应为 x m. 根据题意得：(16 - 2x)(9 - x) = 12， 解得：x1 = 1，x2 = 16 (舍去). 答：小路的宽应 1 m. x x 链接中考 _____________ 主要内容 几何面积问题 常见图形的面积公式 运用策略 规则图形 不规则图形 ________ 面积公式求解 割补法 课后小结 基础练习 1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 80 cm x x x x 50 cm B 当堂练习 2.(黄冈月考)某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场.鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个 2 米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为 30 米. (1) 若墙长为 18 米，要围成的鸡场面积是 120 平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2) 围成的鸡场面积能达到 180 平方米吗?说明理由. 等量关系： 鸡场墙长×鸡场墙宽 = 鸡场面积 2 x x 解：(1)设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为 (30 + 2 - 2x) 米. 依题意得： x(30 + 2 - 2x) = 120 ， 整理得： x2 - 16x + 60 = 0 ， 解得： x1 = 10 ，x2 = 16. 当 x = 10 时，30 + 2 - 2x = 12 ＜18，符合题意， 当 x = 16 时，30 + 2 - 2x = 20 ＞18，不符合题意，舍去. 答：鸡场长为 12 米，宽为 10 米. (2) 围成的鸡场面积不能达到 180 平方米，理由如下： 2 y y 设垂直于墙的边长为 y 米，则平行于墙的边长为 (30 + 2 - 2y) 米. 依题意得： y(30 + 2 - 2y) = 180 ， 整理得： y2 - 16y + 90 = 0 ， ∵Δ = -104 ＜ 0， ∴ 围成的鸡场面积不能达到 180 平方米. 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm²？ 等量关系： 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm， CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm². 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm². 则有 整理，得 更多练习见专题课件. 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $