21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程 新知一览 直接开平方法 配方法 实际问题与一元二次方程 公式法 因式分解法 一元二次方程的根与系数的关系 传播问题 几何图形 平均变化率 人教版九年级（上） 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 2 一元二次方程 两 根 x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 -4 1 2 3 -1 -3 -4 5 6 x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ (1) 填一填，然后用语言叙述你发现的规律； (2) x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 用式子表示你发现的规律. 根与系数之间的规律. 导入新课 (1) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 猜一猜 重要发现 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式. (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 知识点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 探究新知 (2) 如果方程二次项系数不为1，对于一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，它的两根之和、积与系数又有怎样的关系呢？ 猜一猜 ax2 + bx + c = 0 注：b2 - 4ac≥0 ↗ 证一证 总结 一元二次方程的根与系数的关系： 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 注意：满足上述关系的前提条件是 b2 - 4ac≥0. 定义总结 例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 – 6x – 15 = 0； 解： a = 1，b = – 6， c = – 15. Δ = b2 - 4ac = ( –6 )2 – 4 × 1 ×(–15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( –6 ) = 6， x1 x2 = -15. 典例精析 (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； 解：a = 3，b = 7，c = -9. Δ = b2 − 4ac = 72 – 4×3×( − 9 ) = 157 > 0， ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = − ， x1 x2 = (3) 5x – 1 = 4x2. 解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0. a = 4，b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = . 总结 求两根之和、两根之积的步骤： 化为一般式 → 判断 Δ≥0 → 代入 a、b、c 例2 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 常见的求值式子如下： 知识拓展 1. (呼和浩特) 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2022 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2022x1 + x22 的值是 ( ) A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 A x12-x1-2022=0 x12 -2022= x1 x13-2022x1+x22 x1(x12-2022)+x22 x12+x22 (x1+x2)2-2x1x2 x2-x-2022=0 x1+x2=1，x1x2 =-2022 4045 链接中考 定义 根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 _____________,_____________ 应用前提 方程有实数根，即_____________ 应用 Δ=b2 - 4ac≥0 课后小结 基础练习 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. ___ -3 2. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1， 则 1 · x1 = ∴ x1 = 当堂练习 3. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2) 解：由根与系数的关系，得 (1) (x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = (2) 能力提升 更多练习见专题课件. 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $