21.2.3 因式分解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程 新知一览 直接开平方法 配方法 实际问题与一元二次方程 公式法 因式分解法 一元二次方程的根与系数的关系 传播问题 几何图形 平均变化率 人教版九年级（上） 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 2 请列出合适的方程并求解. 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 离地面的高度 (单位：m)为 10x - 4.9x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 解：设物体经过 x s 落回地面， 由题意得： 10 x - 4.9 x2 = 0. 导入新课 知识点 1：因式分解法解一元二次方程 请分别用配方法和公式法解方程：10x - 4.9x2 = 0. 解： 解： a = 4.9，b = -10，c = 0. ∴ Δ = b2－4ac = 100. 4.9x2 - 10x = 0. 探究新知 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 - 4.9x = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 10x - 4.9x2 = 0 ① x(10 - 4.9x) = 0 ② x = 0， 思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？ 总结 因式分解的概念：使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 定义总结 例1 解下列方程： 解：因式分解，得 ∴ x - 2 = 0，或 x＋1 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = -1. (x - 2)(x＋1) = 0. 转化为两个一元一次方程 典例精析 解：移项、合并同类项， 得 因式分解，得 (2x＋1)(2x - 1) = 0. 解得 ∴ 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0. 请尝试归纳解题步骤! 一移：使方程的右边为 0； 二分：将方程的左边因式分解； 三化：将方程化为两个一元一次方程； 四解：写出方程的两个解. 总结 简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解. (1) x2 −5x + 6 = 0； (2) x2 + 4x − 5 = 0； (1) (2) 用因式分解的十字相乘法解题较快. 解：(1) 分解因式， 得 (x − 2)(x − 3) = 0， 解：(2) 分解因式， 得 (x + 5)(x − 1) = 0， 解得 x1 = −5，x2 = 1． 解得 x1 = 2，x2 = 3. 1. (增城中考改编)解方程： 链接中考 2. 若 x1,x2 是方程 x2 - 2x - 3 = 0 的两个实数根， 则 x1 · x22 的值是 ( ) A. 3 或 -9 B. -3 或 9 C. 3 或 9 D. -3 或 -9 x2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 ① x1 = 3 ， x2 = -1 x = 3 或 x = -1 ② x1 = -1 ， x2 = 3 x1 · x22 = 3 x1 · x22 = -9 A A 知识点 2：选用适当的方法解方程 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x (x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； (1) 有公因式时，可用因式分解法； (2) 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 解： (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0， 或 x + 5 = 0. 解得 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 = (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. (3) 二次项系数为 1，可用配方法解较快； (4) 二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法. 解：(3) x2 - 12x + 62 = 4 + 62， (x - 6)2 = 40. ∴ x1 = ， x2 = 解：(4) 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵ Δ = b2 - 4ac = 28 > 0， 一元二次方程的解法选择基本思路： 总结 化成一般形式 ax2 + bx + c = 0 直接开平方法 因式分解法 b＝0，ax2 + c = 0 是 容易因式分解 c＝0，ax2 + bx = 0 否 公式法或配方法 方法总结 定义 因式分解法 把原方程转化成两个______乘积等于 0 的形式，在使这两个______分别等于 0，从而实现降次 理论依据 若 ab = 0，则 a =___，b =___ 一般步骤 一次式 0 0 一移：使方程的右边为 0 二分：将方程的左边因式分解 三化：将方程化为两个一元一次方程 四解：写出方程的两个解 一次式 课后小结 基础练习 1. 填空： ① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0； ④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8； ⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 3x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2). 最适合运用直接开平方法： ； 最适合运用因式分解法： ； 最适合运用公式法： ； 最适合运用配方法： . ⑥ ① ③ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② ④ 当堂练习 2. 若一个三角形的三边长均满足方程 x2 - 7x + 12 = 0，求此三角形的周长. 解：x2 - 7x + 12 = 0，则 (x - 3)(x - 4) = 0. ∴ x1 = 3，x2 = 4. ∵ 三角形三边长均为方程的根. ① 三角形三边长为 4、3、3，周长为 10； ② 三角形三边长为 4、4、3，周长为 11； ③ 三角形三边长为 4、4、4，周长为 12； ④ 三角形三边长为 3、3、3，周长为 9. 3. 解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0. 解：设 x2＋3＝y，则原方程化为 y2－4y＝0. 分解因式，得 y(y－4)＝0，解得 y＝0，或 y＝4. ①当 y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解； ②当 y＝4 时，x2＋3＝4，即 x2＝1. 解得 x＝±1. 所以原方程的解为 x1＝1，x2＝－1. 令 (x2＋3)＝y y2－4y＝0 y(y－4)＝0 y＝0，原方程无解 y＝4，x1＝1，x2＝－1 y＝0 或 y＝4 18 更多练习见专题课件. 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $