21.2.2 公式法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程 新知一览 直接开平方法 配方法 实际问题与一元二次方程 公式法 因式分解法 一元二次方程的根与系数的关系 传播问题 几何图形 平均变化率 人教版九年级（上） 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 2 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 配方法能解所有的一元二次方程吗？ 解：方程整理得 配方得 开平方得 解得 导入新课 知识点 1：求根公式的推导 自己动手用配方法解方程：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，小组讨论下列步骤是否有误. 解： 探究新知 步骤 ② 能直接开方吗？ 第 ① 步后应对 b2－4ac 的取值分情况讨论： (1) 当 b2－4ac > 0 时，方程有两个不等的实数根： 动手实践 (2) 当 b2－4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根： (3) 当 b2－4ac < 0 时，方程无实数根： b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac. 总结 判别式 根 两个不相等的实数根 Δ > 0 Δ = 0 两个相等的实数根 两个实数根 没有实数根 Δ < 0 Δ≥0 定义总结 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 3x2 + 4x − 3 = 0； (2) 4x2 = 12x − 9； (1) 有两个不相等的实数根 3x2 + 4x − 3 = 0 Δ = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0 (2) 4x2 − 12x + 9 = 0 Δ = (−12)2 − 4×4×9 = 0 有两个相等的实数根 典例精析 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 − 2x − 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > −1 B. k > −1 且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 B 方程有两个不等的实数根 二次项系数不为 0 (-2)2 + 4k > 0 k≠0 k > −1 且 k≠0 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围. 总结 总结 判断一元二次方程根的情况的方法： 将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 Δ = b2 − 4ac > 0 Δ = b2 − 4ac = 0 Δ = b2 − 4ac < 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 方法总结 总结 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 定义总结 知识点 2：用公式法解方程 例3 用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； ∴ 方程有两个不等的实数根. 解：(1) a = 1，b = −4，c = −7. Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 即 ∴方程有两个相等的实数根. (2) 2x2 − x + 1 = 0； 解：(1) a = 2，b = − ，c = 1. Δ = b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. (3) 5x2－3x = x + 1； (4) x2 + 17 = 8x. 方程没有实数根. 请自己尝试求解哦！ 总结 化为一般形式 解一元二次方程的步骤： 变形 确定系数 计算 根据根的情况求解 用 a，b，c 写出各项系数 b2 − 4ac 方法总结 16 1. 用公式法和配方法解下列一元二次方程： (1) x2 + 2x − 7 = 0； 解：(1) 公式法： 配方法： x2 + 2x =7， a = 1，b = 2，c = − 7. Δ = 22－4×1×(－7)=32， ∴方程有两个不相等的实数根， 练一练 解：(2) 公式法： 配方法： ∴方程有两个不相等的实数根， (2) 2x2 − 4x − 5 = 0. a = 2，b = − 4，c = − 5. Δ = (－4)2－4×2×(－5)=56， 2(x2 − 2x+1) = 5+2 2(x − 1)2 = 7 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法 一元二次方程根的判别式 Δ= b2－4ac 求根公式： 当 b2－4ac > 0 时， 方程有________的实数根； 当 b2－4ac = 0 时， 方程有________的实数根； 当 b2－4ac < 0 时， 方程_________. 两个不等 两个相等 无实数根 ( b2－4ac≥0 ) 课后小结 基础练习 1. (威海) 解方程 3x2 − 5x + 1 = 0 . 解：∵ a = 3，b = −5，c = 1， ∴ Δ = b2－4ac = (−5)2－4×3×1= 13＞0. 当堂练习 2. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0． Δ = 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0. 解得 且 m≠1. 21 3. 不解方程，判断关于 x 的方程 的根的情况. ∴ 原方程有两个实数根． ∵ k2≥0， ∴ 4k2≥0， 即 Δ≥0. 解： Δ ＝( k )2 − 4×1×k2 = 4k2. 4.在等腰 △ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求 △ABC 的周长. 解：∵关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 − b = 0 有两个相等的实数根， ∴ Δ = (b + 2)2 − 4(6 − b) = b2 + 8b − 20 = 0. 解得 b1= −10（舍去），b2 = 2. 由三角形的三边关系，得 c = 5， ∴△ABC 的三边长为 5，2，5，其周长为 5 + 2 + 5 = 12. 能力提升 23 更多练习见专题课件. 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $