21.2.2解一元二次方程——公式法（第2课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 第二课时 21.2.2 公 式 法 学 习 目 标 1 2 3 认识到公式法是解一元二次方程的普适方法，适用于所有形式的一元二次方程；准确记忆并运用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式。 理解求根公式的推导过程是通过配方法得到的，认识到公式法是配方法的一般化结果。 感受数学公式的简洁性、普适性和强大威力，体会数学抽象的价值，在运用公式法解题的过程中，培养严谨、规范、细致的运算习惯和书写习惯。 根的判别式应用 （1）当b2-4ac＞0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根 （2）当b2-4ac=0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根 （3）当b2-4ac＜0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根 一元二次方程 ； 知识回顾 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方可化为： 填一填 = ； 根的判别式 两个不相等 两个相等 没有 做一做 导入新课 通过配方法求出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 即 解： 当＞0时，方程两边同时开平方得： ∴方程的解为： 根由方程的系数a，b，c确定 新知探究 探究点1 求 根 公 式 当时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解可写为： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)求根公式 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代人求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 公式法 典例分析 例1：用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x (1) a=1, b= - 4, c= - 7 Δ=b²-4ac =(-4)²-4×1×(-7) =44>0 方程有两个不等的实数根 ∴x1=, x2= = 解: 典例分析 例1：用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解: (2) a=2, b= - , c=1 Δ=b²-4ac =(- )²-4×2×(1)=0 方程有两个相等的实数根 即：x1=x2= = 典例分析 例1：用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解: a=5, b= - , c= -1 Δ=b2-4ac =(-4)2-4×5×(-1) =36>0 方程有两个不相等的实数根 = 即：x1=, x2=- (3)移项得， 5x2-4x-1=0 典例分析 例1：用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解: a=1, b= - , c = 17 Δ=b2-4ac =(-8)2-4×1×17 =-4 < 0 方程无实数根 (4)移项得， x2-8x+17=0 一元二次方程不是一般形式要先化为一般形式后再用求根公式 注意： 用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) ，并写出方程的各项系数； （2）求出的值并判断正负，特别注意：当＜0时，方程无解； （3）代入求根公式并化简； （4）写出方程的解： 新知探究 探究点2 用公式法解方程 典例分析 例2.用公式法解下列方程: 原方程化简为： x2-3=0 解: a=1, b= 0, c =-3 Δ=b2-4ac =02-4×1×(-3) =12＞ 0 = ∴1=,2= 原方程化简为： 2x2 -5=0 解: a =2, b= 4, c =-5 Δ=b2-4ac =42-4×2×(-5) =56＞ 0 = ∴1=,2= 典例分析 例3.解决本章引言中的问题 要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 解：设雕像下部高 x m，由题意可得： x2=2(2－x) 整理得：x2＋2x－4=0 a =1, b= 2, c =-4 Δ=b2-4ac =22-4×1×(-4) =20＞ 0 = ∴x1=, x2= 结果保留小数点后两位， （不合题意，舍去） 拓展提升 1．定义：如果一元二次方程 满足 ．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． （1）∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即， ∴ ， ∴，即 (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程 是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 解： 拓展提升 1．定义：如果一元二次方程 满足 ．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (2)已知关于x的方程 是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． （2）解：方程整理得： ∵此方程是“凤凰”方程， ∴整数m的值为0或2或4或6． ∵两个实数根都是整数 ∴ 巩固练习 教材p12练习 1．用公式法解下列方程． （1）x2＋x－6=0； （2） （3）3x2－6x－2=0 ； （4）4x2－6=0 ； ∴ x1=-3 , x2=2． Δ=b2-4ac =12-4×1×(-6) =25＞ 0 解：（1）∵a=1，b=1，c=－6 = ∴x1=, x2=． Δ=b2-4ac =（ -）2-4×1×(－) =4＞ 0 （2）∵a=1，b=-，c=－ = ∴ x1= , x2=． 巩固练习 教材p12练习 Δ=b2-4ac =（-6）2-4×3×(-2) =60＞ 0 解：（3）∵a=3，b=-6，c=－2 = ∴x1=, x2= - ． Δ=b2-4ac =（ 0）2-4×4×(－) =96＞ 0 （4）∵a=4，b=0，c=-6 = 1．用公式法解下列方程． （1）x2＋x－6=0； （2） （3）3x2－6x－2=0 ； （4）4x2－6=0 ； 巩固练习 教材p12练习 铁皮四个角减去的正方形边长为 2.求21.1节中问题1的答案. 巩固练习 用公式法解方程：2x2＋7x＝4. 解：∵a＝2，b＝7，c＝4， ∴b²－4ac＝72－4×2×4＝17. ∴x＝， 即x1＝，x2＝. 上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正． 3.阅读： 解：不正确． 错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c的符号错误 正解： 移项，得：2x2＋7x－4＝0， ∵a＝2，b＝7，c＝－4， ∴b2－4ac＝72－4×2×(－4)＝81. ∴x＝ ∴ x1＝， x2= -4 真题感知 1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A． B． C． D． A、 ＜0 ，故该方程无实数解， 故本选项不符合题意； B、 ，解得： ， 故本选项符合题意； C、 ，=±1 ， 解得 ，故本选项不符合题意； D、 ，=± ， 解得，故本选项不符合题意． B 解： 真题感知 2.（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A．≤4 B．4 C．4 且 D．≤4 且 D 解： 关于的一元二次方程有实数根， ∴且Δ 0 ， 即 ， 解得：≤4 ， ∴的取值范围是≤4且 ． 真题感知 3.（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前 n行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排 2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 真题感知 3.（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前 n行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排 2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 真题感知 3.（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为_ _____ （1）解：三角点阵中前8行的点数之和为 ： 前15行的点数之和为 ： 前n行的点数之和为 ： 真题感知 3.（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点…… (2)体验：三角点阵中前 n行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （2）解：不能， 理由如下： 由题意得： =500， 得000=0， Δ = 1²-4×1×（-1000）=4001 ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 不能 真题感知 3.（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点…… (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排 2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ （3）解：同理，前n行的点数之和为： 由题意得 ，得 ， ∴Δ = 1²-4×1×（-420）=1681 解得 （舍去）， ∴一共能摆放20排． 公式法 配方法 方程有两个不等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 课堂小结 课堂小结 1、由配方法解一般的一元二次方程 若得求根公式 : 2、用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0. 2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号。 3)计算 ，若结果为负数，方程无解， 4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。 课后练习 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程 ． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为 ， 其中 ，且 ，求的值． （1）证明：根据题意得： ∴此方程有两个不等的实数根。 （2）解：方程的两个根分别为 ，其中 ，若 由（1）知： 16 ， ， ， ， 解得： ， 即 的值为 4． 5.解下列方程（教材p15） 教材p15 习题21.2 13..无论p确何值，方程（x-3）（x-2）-p²=0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由（教材p15） 课后练习 $$