21.2.1 第2课时 配方法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程 新知一览 直接开平方法 配方法 实际问题与一元二次方程 公式法 因式分解法 一元二次方程的根与系数的关系 传播问题 几何图形 平均变化率 人教版九年级（上） 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.1 第 2 课时 配方法 2 引言：要设计一座高 2m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？ 解：设雕像下部 BC = x m， 列方程得 x 2 = 2(2 - x )， 整理得　x 2 + 2x - 4 = 0． A C B 如何解出该一元二次方程？ 导入新课 知识点 1：配方法 探究二：比较下列方程，并说出它们的区别和联系. (x + 1) 2 = 5 ① x2 + 2x - 4 = 0 ② 解： 直接开平方，得 转化 探究一：解方程 (x + 1) 2 = 5. 尝试化简！ 探究新知 回忆完全平方公式： a2 + 2ab + b = (a + b)2 a2 - 2ab + b = (a - b)2 合作探究 x2 + 2x - 4 = 0 x2 + 2x = 4 x2 + 2x + 1 = 4 + 1 (x + 1)2 = 5 移项 使左边配成 x2 + 2bx + b2 的形式 降次 解一次方程 探究三：怎么样把方程② 化成具有方程 ① 这种形式的方程呢？并尝试解方程. 合作探究 (1) x2 + 4x + = ( x + )2； (2) x2 − 6x + = ( x − )2； (3) x2 + 8x + = ( x + )2； (4) x2 − x + = ( x − )2. 22 2 32 3 42 4 填一填 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (5) x2 + px + ( )2 = ( x + )2. 动手实践 把握二次项系数为 1 的完全平方式的特点： 常数项等于一次项系数一半的平方. 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 总结 定义总结 例1 解下列方程： 解：移项，得 x2－8x = －1. 配方，得 x2－8x + 42 = －1 + 42， 直接开平方得 (x－4)2 = 15. 即 典例精析 10×6x2=1500 2x2 -3x=-1 10×6x2=1500 3x2 -6x=-4 实数的平方≥0 原方程无实数根 请尝试按照 (1) 写出 (2)(3) 完整解题步骤. 1.解方程： (1) (无锡) x2 - 2x - 5 = 0； (2) (徐州) x2 - 2x - 1 = 0. 解： (1) x2 - 2x -5 = 0， 移项，得 x2 - 2x = 5. 配方，得 (x - 1)2 = 6. (2) x2 - 2x -1 = 0， 移项，得 x2 - 2x = 1. 配方，得 (x-1)2 = 2. 链接中考 总结 对于一般的一元二次方程可配方转化成 (x + n)2 = p： p 的取值范围 方程两根 p > 0 p = 0 p < 0 不相等实根 相等实根 x1 = x2 = -n 无实数根 定义总结 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 移常数项，并将二次项系数化为 1； ② 配完全平方式 [配上 ]； ③ 写成 (x + n)2 = p； ④ 直接开平方法解方程. 总结 例2 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2 − 4k＋5 的值必定大于零. 知识点 2：配方法的应用 k2 − 4k＋4＋1 (k − 2)2＋1 (k − 2)2≥0 值必定大于零 典例精析 10×6x2=1500 例3 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且 试判断△ABC 的形状. 直角三角形 例4 用配方法求最值. (1) 2x2 − 4x + 5 的最值； (2) −3x2 + 6x − 7 的最值. 解：(1)原式 = 2(x −1)2 + 3 ∵ 2(x −1)≥0， ∴ 2(x −1)2 + 3≥3 . 当 x = 1 时，有最小值 3. (2) 原式= −3(x − 1)2 －4 ∵ −3(x − 1)≤0， ∴ 2(x −1)2 + 3≤－4. 当 x = 1 时，有最大值− 4. 总结 ax2 + bx + c (a，b，c 均为常数且 a ≠ 0 ) 型代数式： a(x + m)2 + n 求最值或证明恒为正(负) 配方 定义 配方法 通过配完全平方式解一元二次方程的方法 步骤 二配完全平方式[配上____________] 实际应用 求代数式或字母的值 一移常数项，并将二次项系数化为__ 三写成 (x + n)2 = p 四直接开平方法解方程 1 课后小结 基础练习 1. 解下列方程： （1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12； （3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0. 解：x2 + 2x + 2 = 0， (x + 1)2 = -1. ∴ 此方程无解. 解：x2 - 4x - 12 = 0， (x - 2)2 = 16. ∴ x1 = 6，x2 = -2. 解：x2 + 2x - 3 = 0， (x + 1)2 = 4. ∴ x1 = -3，x2 = 1. 当堂练习 2. 利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 − x2 − x −1 的值总是负数，并求出它的最大值. ∴ − x2 − x −1 的值总是负数. 当 时，− x2 − x −1有最大值 解：− x2 − x −1 = −( x2 + x + ) + −1 3. 已知 a，b，c 为 △ABC 的三边长，且满足等式 ，试判断 △ABC 的形状. 解：将原式整理得 由非负式的性质可知 ∴ △ABC 为等边三角形. 更多练习见专题课件. 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $