21.2.1解一元二次方程——配方法（第2课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

21.2.1配方法（第二课时）教学设计 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材，第二十一章一元二次方程，21.2解一元二次方程——21.2.1配方法第二课时，内容为配方法解一元二次方程。 2.内容解析 配方法是解一元二次方程的核心方法之一，是理解求根公式的基础，也是后续学习二次函数顶点式、最值问题的重要工具，它体现了重要的数学转化思想（化归思想）。上节课学习了解方程和的方法是“降次”转化为一元一次方程，本节课关键是引导学生发现解方程时，应该将方程配方成的形式，于是产生后面“移项”“系数化为 1”“方程两边加一次项系数一半的平方”“方程的一边写成完全平方形式”等具体做法。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为配方法的方法。 1.教学目标 （1）理解配方法，能用配方法去解数字系数的一元二次方程。 （2）使学生认识到本节课学习的配方法解一元二次方程是后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础，激发进一步学习的兴趣，在学习过程中体会数学的严谨性与逻辑性。 2.目标解析： （1）本节课在上节课学习的基础上继续探究配方法解一元二次方程，如何将方程左边配成一个完全平方式，在教学中要引导学生理解配方每一个步骤的目的，并在理解的基础上牢固记忆配方的步骤，当二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”是配方的关键。 （2）通过配方对一元二次方程转化为 是后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础，学生必须做到理解、会配方。 （3）通过交流讨论的学习过程激发学生进一步学习的兴趣，在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性，感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识。 学生已学习了一元一次方程、多项式及开平方的概念，上一节课已学习了解的形式的方程，本节课重点是怎样将方程左边配成一个完全平方式，当二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”是配方的关键，这教学中要关注其中的“理”，在理解的基础用，还要死记死记硬背。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：怎样配方。 创设情景，引入新课 问题 上一节课学习了解方程，我们如何来解方程呢？ (设计意图：通过复习，提出问题引入新课,让学习配方法作铺垫) 探究点1 配方法 问题 我们已经会解方程，因为它的左边是含有的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程。那么，能否将方程转化为可以直接降次的形式再求解呢? 追问：（1）要使方程的左边含有的完全平方式，右边是常数，首先需要怎样变形？ （2） 要使方程的左边应为完全平方式的形式，需要进行怎样变形？ （3）左边写成完全平方式，右边是一个非负数，我们可以怎样降次求解？ 追问答案： （1）将常数项移到左边。 （2）需要将方程两边都加上9，即一次项系数一半的平方（）。 （3）方程可以写成的形式解方程。 上述解答过程如下： （常数项移到左边） →（两边同加上一次项系数一半的平方，即两边同加9） →（写成完全平方的形式，即的形式） →（降次，化为一元一次方程） →， 即或（解一元一次方程） →，。 可以验证，是方程的解。 归纳总结： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 (活动方法：通过追问的形式激发学生思考。通过框图形式直观地反映了配方法解一元二次方程的步骤，有利于学生记忆。教学活动中要充分引导学生认识配方到底配什么，使他们理解当二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”是配方的关键，教学时让学生先独立思考完成，然后再交流，务必使学生牢固掌握.) (设计意图：理解掌握配方的目的和方法步骤) 典例分析 例1．解下列方程 （1） （2） （3） 【分析】(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法。 (2)先把方程化成，它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2。 (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 【详解】解：(1)移项，得 配方，得 由此可得 ， (2)移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得 ，. (3)移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 因为实数的平方不会是负数，所以取任何实数时，都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根. (设计意图：巩固配方法解一元二次方程) 探究点2 方程的解的情况 问题 前面我们学习了解的情况，类似地我们来讨论方程的解的情况 (活动方法：将一元二次方程配方为后，需要根据的取值情况对方程的解进行讨论，这个过程让学生类比自己尝试解决，教师再给予总结) 归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(Ⅱ)的形式，那么就有: (1)当时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根，； (2)当时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根； (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程(Ⅱ)无实数根. 典例分析 例2．用配方法求当m取何值时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【分析】先配方，再求m的值． 【详解】解：移项，得 配方，得 当时，此方程有两个相等的实数根． 解 得：． (设计意图：巩固对方程的解的情况的认识) 探究点3 配方法的基本步骤 问题：从上面的用配方法解一元二次方程的过程，归纳出用配方法解一元二次方程的一般步骤。 (活动方法：这个过程让学生自己尝试归纳，教师再给予总结) 配方法的基本步骤： 1.移项:将未知数和常数项分别移到等号的左右两边； 2.系数化为1：将二次项系数化为1； 3.配方：方程两边同加上一次项系数一半的平方，将方程化为的形式； 4.转化：将一元二次方程降次转化为一元一次方程（当中时，方程无实数解）； 5.写解：写出一元一次方程的解或说明无实数解。 (设计意图：通过总结归纳配方法的基本步骤，有利用学生牢固记忆掌握运用) 典例分析 例3．配方法解一元二次方程． 下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务 ． 解：．    第一步 ．    第二部 ．    第三步     第四步     第五步 ，．    第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程的正确过程． 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．熟知配方法解一元二次方程的方法及一般步骤是解题的关键． 【详解】解：任务一：第三步开始出现错误；错误的原因是配方错误；等式的基本性质1； 故答案为：三；配方错误；等式的基本性质1； 任务二：配方法解方程的正确过程如下： ， ， ， ， ， ， 解得：，． (设计意图：巩固对用配方法一元二次方程认识) 1.下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得，① 二次项系数化为1，得，② 配方，得，，③ 由此可得，④ ，⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，第__________步开始出现错误， 错误的原因是____________________，这种方法解方程． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，由解题过程即可判断错误的步骤，根据配方法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：解答过程不正确，第①③步都出现错误，错误原因是右边没有除以2和右边没有加上1， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方，得：，即， 由此可得：， ， 故答案为：③，右边没有加上1． (设计意图：拓展对配方法解一元二次方程解的认识) 1.（课本练习）填空： 2.（课本练习）解下列方程： 参考答案：1. 3. （5）无实数解； （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．（2020•泰安）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【解析】∵， ∴， 则，即， ∴， 故选：A． 2.(2024·江苏连云港·中考真题)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为____. 【详解]解:，配方，， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 故，． 3.（2022•徐州）解方程： 【详解]解：移项， 系数化为1， 配方， 由此，得， 方程解为： . （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） （一）配方法的基本步骤： 1.移项:将未知数和常数项分别移到等号的左右两边； 2.系数化为1：将二次项系数化为1； 3.配方：方程两边同加上一次项系数一半的平方，将方程化为的形式； 4.转化：将一元二次方程降次转化为一元一次方程（当中时，方程无实数解）； 5.写解：写出一元一次方程的解或说明无实数解。 （二）当二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”是配方的关键。 （三）方程 解的情况是由值确定。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 1.必做题：习题21.2 第2、3题。 2.探究性作业：阅读与思考 黄金分割数. 主板书 21.2.1 配方法第二课时 探究点1 配方法 探究点2 方程的解的情况 探究点3 配方法的基本步骤 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$