专题12 三角函数的图像与性质（七大考点精讲）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题12 三角函数的图像与性质 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 3 考点1、用五点法作正弦函数与余弦函数的简图 3 考点2、正弦、余弦、正切函数的图像与性质 3 考点3、与的图像与性质 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 求三角函数的周期 5 重难点题型2 求三角函数的定义域 8 重难点题型3 求三角函数的单调性与值域 12 重难点题型4 求三角函数的对称性（对称轴与对称中心） 14 重难点题型5 由图像求三角函数的解析式 18 重难点题型6 三角函数中“”的求法 24 重难点题型7 三角函数的综合应用 28 四、突破热点题型 32 知识点一：用“五点法”作图正弦函数与余弦函数的简图 （1） 在正弦函数，的图象中，五个关键点是． （2） 在余弦函数，的图象中，五个关键点是． 知识点二：用“五点法”作图正弦函数与余弦函数的简 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 知识点三：与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， 知识点四：常用结论 1、关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 2、与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)、若为偶函数，则；若为奇函数，则. (2)、若为偶函数，则；若为奇函数，则. (3)、若为奇函数，则. 重难点题型1 求三角函数的周期 例1.（2025高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用余弦型函数周期公式列式得解. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：B 例2.（2025·陕西汉中·一模）若函数（）的最小正周期为，则 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用余弦型函数周期公式计算得解. 【详解】由函数的最小正周期为4，得，所以. 故答案为： 1.（24-25高一下·广西来宾·开学考试）若函数的最小正周期为，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、由正切函数的周期求值 【分析】结合正切型函数的周期公式求出，进而代值计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 即. 故答案为：. 2.（24-25高一下·山西运城·阶段练习）若函数的最小正周期为，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据周期性求出，即可求出解析式，代入求值即可. 【详解】因的最小正周期为，则，结合可得， 则，得. 故答案为： 重难点题型2 求三角函数的定义域 例3.函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解正弦不等式、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】要使函数有意义只须，再解不等式可得答案. 【详解】由，得， 解得 故答案为：. 例4.（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域 【分析】根据对数函数真数大于0得到， 结合三角函数性质解三角不等式即可. 【详解】由题意得：，即， 则. 故选：C. 1.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 2、（24-25高一上·天津滨海新·期末）的定义域为 ；若，则 ． 【答案】 3 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的定义域、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】空一：根据正切型函数的定义域进行求解即可；空二：根据两角和的正切公式进行求解即可． 【详解】空一：由函数解析式可知：， 所以该函数的定义域为：； 空二：因为， 所以． 故答案为：；3． 重难点题型3 求三角函数的 单调性与值域 例5.（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数， (1)求的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)求方程的解. 【答案】(1) (2) (3)或或或 【难度】0.85 【知识点】已知三角函数值求角、求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）由余弦函数的单调性直接求解即可； （2）由余弦函数的性质判断在上单调性，然后根据其单调性可求出其最小值； （3）由题意得，然后根据余弦函数的性质可求得答案. 【详解】（1）的单调递减区间为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以当时，， 所以函数在区间上的最小值为. （3），则. 因为， 所以或或或. 例6.求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性． 【答案】答案见解析 【难度】0.85 【知识点】求含tanx的函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的定义域、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】利用正切函数的定义域，值域，奇偶性和单调性即可得到答案. 【详解】令，则由得， 即函数的定义域是 因为函数的值域是R，所以的值域是， 最小正周期为 因为 且 所以既不是奇函数也不是偶函数， 由得 所以函数在上是增函数． 1.（23-24高一下·湖北孝感·开学考试）已知函数， . (1)求的最大值和对应的取值； (2)求在的单调递增区间. 【答案】(1)当，时，函数有最大值 (2) 【难度】0.85 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据正弦型三角函数的最值列方程求解即可； （2）先确定函数在上的递增区间，结合已知区间求交集即可. 【详解】（1）解：因为，，函数取最大值满足：，，可得，， 当，时，函数有最大值 ； （2）解：函数在上的增区间满足：，，可得，， 又，函数的单增区间为 . 2.（24-25高一下·四川自贡·期末）已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)函数在上的值域； (3)求在的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、解余弦不等式、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得． （2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得． （3）利用整体的思想结合余弦函数的图象列不等式求解即可. 【详解】（1），令 解得， 所以函数的单调递减区间为． （2），因为，所以， 可得，则， 即函数在上的值域为． （3）由题设，即 因为，所以， 所以，可得． 所以不等式解集为． 重难点题型4 求三角函数的对称性（对称轴与对称中心） 例7.（24-25高二下·河南·期末）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为，求解即可． 【详解】令，得， 显然当时，，所以C正确； 其余选项均不存在整数满足的条件． 故选：C． 例8.（24-25高二下·甘肃白银·期末）（多选题）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为 C．曲线关于直线对称 D．函数为奇函数 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】求cosx(型)函数的值域、求余弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】按照余弦函数的性质逐一进行判断. 【详解】的值域为，的最小正周期，A，B均正确. 因为，所以曲线不关于直线对称，C错误. 因为，所以为奇函数，D正确. 故选：ABD 1.（24-25高一下·湖北武汉·期末）若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据余弦函数的对称中心可列出等式，进而求解. 【详解】是图象的一个对称中心， ， ， ， ， 当时，， 故答案为： 2.（多选题）已知函数，则（   ） A．为的一个零点 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．是奇函数 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、求正弦（型）函数的奇偶性、求含cosx型的函数的定义域、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：以为整体，结合余弦函数单调性分析判断；对于C：代入运算，结合对称性与最值的关系分析判断；对于D：代入运算可得，即可判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以不为的一个零点，故A错误； 对于选项B：因为，则， 且在内单调递减，所以在区间上单调递减，故B正确； 对于选项C：因为为最大值， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于选项D：因为为奇函数，故D正确； 故选：BCD. 重难点题型5 由图像求三角函数的解析式 例9、（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据图像可得，然后逐项判断即可. 【详解】根据图像可得，，解得， 又，所以，故A错误； 又过点，， 由五点作图法可知，，周期，故B错误； ，， 又，所以函数在区间上不单调，故C错误； ， 解得，又， 所以，所以共有8100个零点，故D正确； 故选：D. 例10.（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求函数值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用的图象与性质，结合题设图象，得到，即可求解. 【详解】由图知，，得到，则，解得， 又由图知，图象过点，则，得到， 所以，， 则， 故选：A. 1.（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图象可得函数的周期，再根据可计算出.结合当时，y有最小值，代入根据的范围解出. 【详解】由图象知函数的周期为， ． 当时，y有最小值， ． ． 故答案为： 2.（24-25高三上·天津·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ．（写出下列选项的序号即可） ①．函数的图象关于直线对称 ②．函数的图象关于对称 ③．该图象向右平移个单位长度可得的图象 ④．函数在上单调递增 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据函数图象结合正弦函数图象性质求出函数的解析式，然后逐项分析即可. 【详解】由图可知，设函数的最小正周期为， 则，所以，由及， 又，所以， 又，所以， 所以， 对①：由，即， 令，则为函数的一条对称轴；故①正确； 对②：由，即， 令， 故函数的图象不关于点对称，故②不正确； 对③：的图象向右平移个单位长度可得： ，故③正确； 对④：因为，所以， 由函数在上不单调， 所以函数在上不单调；故④不正确； 故答案为：①③. 重难点题型6 三角函数的实际应用 例11.（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数在物理学中的应用、由正弦（型）函数的周期性求值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解. 【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 例12.（2025高一下·北京·专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有    ①．h关于t的函数解析式为 ②．点P第一次到达最高点需用时5秒 ③．P再次接触水面需用时10秒 ④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】①②③ 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】根据已知代入点计算得出解析式判断①，再根据函数值得出自变量判断②，再根据周期计算判断③，计算函数值判断④. 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，①正确； 由①可知点P第一次到达最高点需用时秒，②正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），③正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，④错误． 故答案为：①②③. 1.（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 2.（2025高一·全国·专题练习）如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】建立适当平面直角坐标，设盛水筒经过秒后到水面的距离为米，结合题意先依次得到筒车半径、和，，进而求出，接着求出盛水槽的正上方所对的弦距离水面的高度为，再解不等式即可求解. 【详解】以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 设盛水筒经过秒后到水面的距离为米， 由题可知筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 又由题知，， 则，， 作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，则（H为中点）， 则距离水面的高度为， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 故，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，有秒能把水倒入盛水槽. 故选：A. 重难点题型7 三角函数中“”的求法 例13.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据函数的单调性确定的取值范围，再由两个函数的值列出方程组，求解后分析即得的最大值. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调，所以，即， 又因为，则有， 又，，则得， 消去，可得，即， 因为，所以，可得， 故当时，取得最大值为5， 当时，，，， 此时，符合题意. 故选：B. 例14.（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 1.（2024·广东佛山·一模）已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 【答案】/1.8 【难度】0.4 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据单调性分析可得，根据题意可得为的对称中心，若求的最大值，即的最小值，根据图像结合三角函数性质分析求解即可. 【详解】设的最小正周期为，且， 因为在上单调，则，可得， 又因为，且，可知为的对称中心， 不妨设，如图所示： 依次讨论对应为点，A，，种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多， 若对应为点，则为的对称轴， 且，则，，满足， 且此时为最小值，所以取值的最大值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于三角函数问题的处理，常常与周期性相结合，本题根据对称性可得，并分析与之间包含的周期最多，即可得解. 2.（24-25高一下·辽宁·期末）已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】画出在区间内的图象，可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，从而得到，求出答案. 【详解】当时，，当时，，当时，，…， 由题意及曲线在区间内的图象， 可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同， 所以需满足，所以. 故选：A. 重难点题型8 三角函数的综合应用 例15.（24-25高一下·上海·期中）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求； （2）在中，由正弦定理可得，继而得到即可求面积最大值. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，，解得，. （2）在中，，，由正弦定理， ，所以， 当，即时，. 例16.（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值及对应的的取值； (3)当时，写出函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时，的小值为，此时 (3) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）借助图象，利用最值可得，利用周期可得，再借助点可得； （2）由，则，再结合正弦函数图象计算即可得； （3）当时，有，再结合正弦函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由图可知或，， 又、，则，， 则有，解得， 又，则，故； （2）当时，， 则，故， 即函数在区间上的最大值为， 此时有，即； 函数在区间上的最小值为， 此时有，即； （3）当时，， 则当，即时，单调递增， 即当时，函数的单调递增区间为. 1.（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 2.（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】解余弦不等式、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【详解】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 解得或， 即的取值范围为． 1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据正弦型函数的最小正周期求得的值，从而由解析式可得的值. 【详解】依题意得，则， 所以． 故选：A． 2．（24-25高二下·河南·期末）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为，求解即可． 【详解】令，得， 显然当时，，所以C正确； 其余选项均不存在整数满足的条件． 故选：C． 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由函数的周期性求函数值 【分析】根据图象得到，，最小正周期为4，故，并计算出，利用函数周期得到答案. 【详解】由图象知，，最小正周期为4，故，解得， 故，所以，，，，， ，又， 所以 ． 故选：B． 4．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 5．（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的图象在上恰好有2个最高点和1个最低点，且这三个点总可以组成一个锐角三角形，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意作图，利用整体思想，根据三角函数的最值以及等腰三角形性质，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意作图如下：    由，则令，解得， 可得，， 由题意可得，解得， 易知为等腰三角形，，底，其上的高为， 由题意可得，则，解得， 所以. 故选： 6．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选题）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据图象得到，然后根据正弦型函数的性质进行逐一判断. 【详解】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 7．（24-25高一下·山东威海·期末）（多选题）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．当时，曲线与的交点个数为4 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】应用代入法验证对称轴和对称中心判断A、C，整体法判断函数的区间单调性判断B；根据正弦型函数的区间单调性、值域确定曲线交点个数判断D. 【详解】A：由，则的图象关于直线对称，对； B：由题设，结合正弦函数性质知单调递增，对； C：由，则的图象关于直线对称，故不是对称中心，错； D：由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且在、、上对应值域依次为、、， 由题设，令， 则在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以与分别在、、、上各有一个交点，即共有4个交点，对. 故选：ABD 8．（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的周期、由正切函数的周期求值 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得. 故答案为：. 9．（2025高三·全国·专题练习）若的图象如图所示，则 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据最小值确定，将点，代入求解的值，即可得解. 【详解】由图象知， 则，又，所以． 又，根据五点法可得 ，得． 所以． 故答案为： 10．（24-25高二下·上海嘉定·期中）新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮（如图示），其总高度165米，直径150米，匀速旋转一圈所需时间为40分钟．已知摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，．而点的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度（米）关于时间（分钟）的函数解析式 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、三角函数在生活中的应用、三角函数在物理学中的应用 【分析】先根据摩天轮的总高度和直径求出和的值，再根据旋转一圈所需时间求出的值，最后根据起始位置求出的值，进而得到函数解析式. 【详解】已知摩天轮直径为150米，那么振幅为半径，即米. 因为摩天轮总高度165米，摩天轮最低点距离地面的高度为总高度减去直径，即米，摩天轮中心距离地面的高度为米，所以米.   已知摩天轮匀速旋转一圈所需时间为40分钟，根据周期的定义，这里分钟. 由三角函数周期公式可得. 将代入上式，解得.   因为点的起始位置在摩天轮的最低点处，当时，取最小值. 对于函数，当时，取最小值. 把，，代入得，化简可得. 又因为，所以.   得到高度关于时间的函数解析式为. 故答案为：. 11．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值是1，最大值是2． 【难度】0.85 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象，利用周期公式求得函数解析式，再根据整体思想求解函数的单调区间即可； （2）根据整体思想，结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】（1）由函数图象可得，解得， 又，所以， 所以， 令， 解得， 所以的单调递增区间为． （2）当时，， 所以，所以， 所以当或即或时，取得最小值，最小值是1， 当即时，取得最大值，最大值是2． 12．（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）根据函数图象确定函数最值与周期，再代入点坐标，可得函数解析式； （2）利用整体代入法可得函数单调区间； （3）可得在上的值域，再利用换元法结合二次函数性质可得值域. 【详解】（1）由图象可知， 且，即， 又，所以； 所以， 又， 解得，， 又，则， 所以； （2）令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 又， 所以函数在上的单调递增区间为和； （3）当，则， 即 设， 则，， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为， 故在上的值域为. 13．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 (3)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，的递增区间为 (2)表格见解析，函数图像见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据正弦函数的周期性求解最小正周期，根据正弦函数的单调性求解单调递增区间. （2）完善表格，描点连线即可利用“五点作图法”画图. （3）由已知可得，结合（2）的图象即可求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以． 令，解得， 所以的递增区间为； （2）因为，当时，， 列表如下： 0 1 4 6 1 2 0 0 1 作图如下： （3）因为，所以， 又，由（2）的图象，且，可知， 所以的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 三角函数的图像与性质 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 3 考点1、用五点法作正弦函数与余弦函数的简图 3 考点2、正弦、余弦、正切函数的图像与性质 3 考点3、与的图像与性质 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 求三角函数的周期 5 重难点题型2 求三角函数的定义域 8 重难点题型3 求三角函数的单调性与值域 12 重难点题型4 求三角函数的对称性（对称轴与对称中心） 14 重难点题型5 由图像求三角函数的解析式 18 重难点题型6 三角函数中“”的求法 24 重难点题型7 三角函数的综合应用 28 四、突破热点题型 32 知识点一：用“五点法”作图正弦函数与余弦函数的简图 （1） 在正弦函数，的图象中，五个关键点是． （2） 在余弦函数，的图象中，五个关键点是． 知识点二：用“五点法”作图正弦函数与余弦函数的简 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 知识点三：与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， 知识点四：常用结论 1、关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 2、与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)、若为偶函数，则；若为奇函数，则. (2)、若为偶函数，则；若为奇函数，则. (3)、若为奇函数，则. 重难点题型1 求三角函数的周期 例1.（2025高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 例2.（2025·陕西汉中·一模）若函数（）的最小正周期为，则 1.（24-25高一下·广西来宾·开学考试）若函数的最小正周期为，则 . 2.（24-25高一下·山西运城·阶段练习）若函数的最小正周期为，则 ． 重难点题型2 求三角函数的定义域 例3.函数的定义域为 ． 例4.（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 2、（24-25高一上·天津滨海新·期末）的定义域为 ；若，则 ． 重难点题型3 求三角函数的 单调性与值域 例5.（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数， (1)求的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)求方程的解. 例6.求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性． 1.（23-24高一下·湖北孝感·开学考试）已知函数， . (1)求的最大值和对应的取值； (2)求在的单调递增区间. 2.（24-25高一下·四川自贡·期末）已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)函数在上的值域； (3)求在的解集． 重难点题型4 求三角函数的对称性（对称轴与对称中心） 例7.（24-25高二下·河南·期末）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 例8.（24-25高二下·甘肃白银·期末）（多选题）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为 C．曲线关于直线对称 D．函数为奇函数 1.（24-25高一下·湖北武汉·期末）若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为 . 2.（多选题）已知函数，则（   ） A．为的一个零点 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．是奇函数 重难点题型5 由图像求三角函数的解析式 例9、（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 例10.（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．2 C． D． 1.（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则 ．    2.（24-25高三上·天津·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ．（写出下列选项的序号即可） ①．函数的图象关于直线对称 ②．函数的图象关于对称 ③．该图象向右平移个单位长度可得的图象 ④．函数在上单调递增 重难点题型6 三角函数的实际应用 例11.（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 例12.（2025高一下·北京·专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有    ①．h关于t的函数解析式为 ②．点P第一次到达最高点需用时5秒 ③．P再次接触水面需用时10秒 ④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 1.（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 2.（2025高一·全国·专题练习）如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 重难点题型7 三角函数中“”的求法 例13.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 例14.（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1.（2024·广东佛山·一模）已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 2.（24-25高一下·辽宁·期末）已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 重难点题型8 三角函数的综合应用 例15.（24-25高一下·上海·期中）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 例16.（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值及对应的的取值； (3)当时，写出函数的单调递增区间. 1.（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 2.（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B． C． D．2025 2．（24-25高二下·河南·期末）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的图象在上恰好有2个最高点和1个最低点，且这三个点总可以组成一个锐角三角形，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选题）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 7．（24-25高一下·山东威海·期末）（多选题）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．当时，曲线与的交点个数为4 8．（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 9．（2025高三·全国·专题练习）若的图象如图所示，则 ．    10．（24-25高二下·上海嘉定·期中）新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮（如图示），其总高度165米，直径150米，匀速旋转一圈所需时间为40分钟．已知摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，．而点的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度（米）关于时间（分钟）的函数解析式 ． 11．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最值． 12．（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)求函数在区间上的值域． 13．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 (3)当时，，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $