三角恒等变换齐次化（弦化切和巧用“1”）讲义-2026届高三数学一轮复习

三角恒等变换齐次化（弦化切和巧用“1”） 一引言：在三角恒等变换中分式类或构造分式类目经常出现，这里就要用到齐次化的解决思路。观察分子分母的结构特点，一般是同为一次或二次，含有同角的“sin”、“cos”、“sin·cos”，将分子分母同除“cos”或“cos2”得到关于“tan”“tan2”的结构进行解题。这样的解法比单纯的联立方程解未知量效率更高，一定程度上可以减少分类讨论，避免因为符号问题出错。该方法也可以推导出“万能公式”，可以提高解题效率。 二常用结论： 1基础型. (1) = (2) == (3) == 2进阶型.(万能公式) 三典例： 例1．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 例2．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 例3．若，，则（    ） A． B． C． D． 例4．（   ） A． B．0 C． D． 例5．在中，内角的对边分别为．已知上的中线长为4，则面积的最大值是 ． 例6．已知，则 ． 例7．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且，则的最大值为 . 例8．已知，求和． 例9．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 例10．已知函数，求函数的值域. 例11．已知，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换齐次化（弦化切和巧用“1”） 一引言：在三角恒等变换中分式类或构造分式类目经常出现，这里就要用到齐次化的解决思路。观察分子分母的结构特点，一般是同为一次或二次，含有同角的“sin”、“cos”、“sin·cos”，将分子分母同除“cos”或“cos2”得到关于“tan”“tan2”的结构进行解题。这样的解法比单纯的联立方程解未知量效率更高，一定程度上可以减少分类讨论，避免因为符号问题出错。该方法也可以推导出“万能公式”，可以提高解题效率。 二常用结论： 1基础型. (1) = (2) == (3) == 2进阶型.(万能公式) 三典例： 例1．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【思路】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式求解即可. 【解析】法一：不妨设，则， 整理得到: ,当时，；当时，， 故在上为增函数，在为减函数，而，，故的最大值为. 法二：由万能公式得，，代入原式并化简得，令，因为题设中欲求最大值，故可设, 则，当且仅当时取等，最大值为. 【反思】求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算. 例2．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【思路】利用两角和的正切公式求出，由求解即可. 【解析】由题可得：，得或，又因为，所以，所以.故选：C. 例3．若，，则（    ） A． B． C． D． 【思路】根据两角差的正余弦公式化简分式，可求得的值，再根据结合两角差的正切公式求解出结果. 【解析】因为， 所以，又因为. 例4．（   ） A． B．0 C． D． 【思路】根据诱导公式得出，，根据半角公式求出，从而得出的值. 【解析】因为，， 所以.根据半角公式， 所以. 例5．在中，内角的对边分别为．已知上的中线长为4，则面积的最大值是 ． 【思路】由利用由余弦定理得设在中,由余弦定理，得，从而得到,根据万能公式化为，再运用基本不等式即可求得最大值. 【解析】因为由余弦定理，得得 设,由余弦定理，得 即 当且仅当即时，等号成立. 例6．已知，则 ． 【思路】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解. 【解析】设，于是， 整理可得，根据万能公式，，整理可得， 由可得，，故， 根据诱导公式，，根据两角和的正切公式，， 故. 例7．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且，则的最大值为 . 【思路】由结合正弦定理得，结合、余弦定理及三角恒等变换公式化简，进而结合基本不等式求解即可. 【解析】由， 根据正弦定理得，即，因为，当且仅当时等号成立， 则 ， 在中，，则，即，所以， 当且仅当，且，即，时等号成立，则的最大值为. 例8．已知，求和． 【思路】设，利用万能公式将已知三角等式转化为分式方程后求解. 【解析】若，则，此时，不符， 若，设，利用万能公式，原已知式化为， 所以，即，解得，或， 当时，，， 当时， ，， ∴，，或，. 例9．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【思路】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围. 【解析】（1），由正弦定理得：，即， 由余弦定理得：，因为，所以； （2）锐角中，，，由正弦定理得：， 故，则 ，因为锐角中，，则，，解得：， 故，，则， 故，，所以三角形周长的取值范围是. 【反思】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常见思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 例10．已知函数，求函数的值域. 【思路】先利用同角的三角函数关系式化简函数式，通过换元，根据辅助角公式求得的范围，即可由函数解析式求得函数的值域. 【解析】由. ① 当时，令，则， 则有，解得，从而； ② 当时，.综上可得：函数的值域为. 例11．已知，求证：． 【思路】利用商数关系，综合运用和差角正余弦公式、平方关系整理化简，即可证. 【解析】由题设，， 从而，得，则， 得，则， 进而得，即，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $