第22章相似形单元测试-2025-2026学年沪科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

第22章 相似形 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A．，，8， B．5，6，7，8 C．3，6，4，7 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．对于按顺序给出的四条线段，我们通常检验其是否满足，即．据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，由，可知这一组线段是成比例线段．所以A符合题意； B中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以B不符合题意； C中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以C不符合题意； D中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以D不符合题意． 故选：A． 2．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴两个相似三角形的周长比为； 故选B． 3．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，这个点叫做位似中心，找到位似中心的位置，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 连接与，与，找出直线与直线的交点即可得到答案． 【详解】解：由图可知与是一组对应点，与是一组对应点，连接与，与, 观察图像可以发现直线与直线相交于点，这个交点就是位似中心 故选：C． 4．如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：在，中， ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项A错误； ，即：，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项B错误； ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项C错误； ，即，两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似，故能判定，故选项D正确； 故选D． 5．如图，在中，，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：, ． , ， 故选：C． 6．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 7．如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 【答案】C 【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 8．如图，点O是的两条中线和的交点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先得出为的中位线，推出，，再利用，即可求解． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 9．两直角边之比为一个三角形按图1的方式分割成两个直角三角形，将分割后的两个直角三角形按图2中的①、②两种方式放置，当①中的阴影部分面积为，②中的阴影部分面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，如图1所示，可证明得到，；如图2①所示，可证明，得到，证明，推出，则；如图2②所示，由图1可得，则，由图1，图2①和图②可知，则． 【详解】解：如图1所示，由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，； 如图2①所示，设交于N，过点N作于M， 由图1可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2②所示，由图1可得， ∴ ， 由图1，图2①和图②可知， ∴， 故选：A． 10．如图1，矩形中，，且，点是上的一定点，分别用、表示，的长，已知和的函数图象如图2所示，为图象最低点的横坐标．则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形性质和判定，矩形的性质，能够从图象中得出有用的条件，分情况求出相应的值是本题的解题关键．由图得，当时，，当点、分别与点、重合时，，设，表示出，，列出方程求出，再利用的比例关系求出，即可解答． 【详解】解：设，由图2得，当时，点、分别与点、重合，如图， ， ， 由图2得，当点、分别与点、重合时，如图， ， ，， ， ， 将两幅图综合，并过作的平行线，如图， 在中，， 在中，， ， ， 即， ， ， ，， ， 连接交于， 由两点之间线段最短得，为的最小值，为所求， 由题得，， ，即， ． 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据比例的性质即可得到答案．本题考查比例的性质，掌握比例的“交叉相乘相等”性质是解题关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是 ． 【答案】240 【分析】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为，由此即可解决问题． 【详解】解：长方形按放大后得到的图形与原来的图形相似，面积比为， 按放大后得到的图形的面积， 故答案为：240． 13．如图，在中，点，分别在边，上，且，若，，的面积是4，则的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据得出，由相似三角形的性质即可得到面积之比从而求出的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的面积是4， ∴的面积是25． 故答案为：25． 14．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点G． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：20． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．已知四个数成比例，且． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点为比例的基本性质，熟练掌握比例基本性质的变形是解题的关键。 由比例的基本性质得到，代入数值进行求解. 【详解】（1）解：成比例，且； ； 已知； ； 解得； 故答案为：. （2）解：成比例，且； ； 已知; ； 解得； 故答案为：. 16．如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时蜡烛与纸筒的距离的长度为． 17．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是位似变换的性质， （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 18．如图，在中，点在边上，． (1)实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】题目主要考查作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据相似三角形的判定作，即可满足题意； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）∵， ∴． ∵，，， ∴． 解得． 答：的长为3． 19．如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． (1)求该矩形的长．（结果保留根号） (2)求该矩形的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)该矩形的长为 (2)该矩形的面积为 【分析】本题考查了矩形的周长，矩形的面积，黄金比，解分式方程，分母有理化，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可； （2）利用长乘以宽，直接计算出答案即可． 【详解】（1）解：设，那么， 经检验，是原方程的根， ， 答：矩形的长为． （2）解：由（1）可知，，， 矩形的面积为：（）． 答：该矩形的面积为． 20．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【详解】（1）解：如下图，线段即为所求作； （2）解：即为所求作． 21．已知：如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是利用相似三角形对边相等的性质． （1）根据菱形的对边平行，可得出，结合即可证明两三角形相似； （2）根据（1）的结论可得出，进而代入可得出． 【详解】（1）证明：在菱形中， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ 22．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 23．在中， ，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作，垂足为E，以为一边在右侧作矩形，点F在边上，且，连接，设运动时间为t(秒)，矩形与重叠部分面积为S． (1)当时，求t的值． (2)当点D在边上运动时，求S与t的函数关系式． (3)当的面积为6时，直接写出t的值． 【答案】(1)秒； (2)，； (3)t的值为秒或秒或秒． 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，动点问题，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明 ，则，，由与由勾股定理，推导出，代入求值，即可解答； （2）分两种情况：①当时， ②当时，逐一分析求解即可； （3）分类讨论，逐一分析求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由题意得：， 则， 当时，由勾股定理得：， ∴，即 解得：， 即当时，秒； （2）分两种情况：①当时，如图1所示： ； 即； ②当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴，即 解得： 同理得：， ∴； 即； （3）分三种情况： ①如图1所示： 由题意得：， 解得：； ②如图3所示： 由题意得：， 解得：； ③如图4所示： 由勾股定理得：， ∴， 同(2)得：， ∴， 即， 解得：， ， 由题意得， ∴C与F重合， ∴， 解得：； 综上所述，当的面积为6时，t的值为秒或秒或秒． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 相似形 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A．，，8， B．5，6，7，8 C．3，6，4，7 D．2，4，6，8 2．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 6．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 7．如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 8．如图，点O是的两条中线和的交点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．两直角边之比为一个三角形按图1的方式分割成两个直角三角形，将分割后的两个直角三角形按图2中的①、②两种方式放置，当①中的阴影部分面积为，②中的阴影部分面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图1，矩形中，，且，点是上的一定点，分别用、表示，的长，已知和的函数图象如图2所示，为图象最低点的横坐标．则的值为（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知，则的值为 ． 12．一个长，宽的长方形，按放大后得到的图形的面积是 ． 13．如图，在中，点，分别在边，上，且，若，，的面积是4，则的面积是 ． 14．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．已知四个数成比例，且． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 16．如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度． 17．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 18．如图，在中，点在边上，． (1)实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 19．如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． (1)求该矩形的长．（结果保留根号） (2)求该矩形的面积．（结果保留根号） 20．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 21．已知：如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 22．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 23．在中， ，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作，垂足为E，以为一边在右侧作矩形，点F在边上，且，连接，设运动时间为t(秒)，矩形与重叠部分面积为S． (1)当时，求t的值． (2)当点D在边上运动时，求S与t的函数关系式． (3)当的面积为6时，直接写出t的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $