21.4二次函数的应用 同步习题 2025-2026学年沪科版数学九年级上册

21.4二次函数的应用 同步习题 一、单选题 1．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 2．如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（    ） A． B． C．1m D． 3．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过t（单位：s）时球距离地面的高度h（单位：m）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（   ） A． B． C． D． 4．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 6．某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2，将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 ． 10．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为 ． 11．如图，物体从点A抛出，物体的高度y(m)与飞行时间t(s)近似满足函数关系式y=−(t−3)2+5． （1）OA= ． （2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是 ． 12．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是 ． 13．如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面米时，足球飞行的水平距离为 米． 14．图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tanβ= ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则点P到水面OA的距离是 m． 三、解答题 15．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． (1)喷头离地面的高度是多少？ (2)水流喷出的最大高度是多少？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 16．图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示． 根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 0 1 2 飞行高度 0 15 20 (1)求小球的飞行高度（单位：）关于飞行时间（单位：）的二次函数关系式； (2)小球从飞出到落地要用多少时间？ (3)小球的飞行高度能否达到？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为，点B在抛物线上． (1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________； (2)抛物线的解析式为____________； (3)设（2）中抛物线的顶点为D，求的面积； (4)在抛物线上是否还存在点点B除外)，使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，张强在一次投掷铅球时，刚出手时铅球离地面，铅球运行的水平距离为时，达到最高，高度为．    (1)请确定这个抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线的函数关系式； (3)张强这次投掷成绩大约是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C D B B D 1．B 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键．利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【详解】解： ， 当时，有最大值为， 他能跳过的最大高度为. 故选：A ． 3．B 【分析】本题考查二次函数实际应用．当球回到地面时，高度，代入中，解方程即可得到时间． 【详解】解：∵球弹起后又回到地面时， ∴令， 整理得：， 解得：（舍）或， ∴球弹起后回到地面所花的时间为3秒， 故选：B． 4．C 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 5．D 【详解】∴第一次降价后的价格是a×(1−x)， 第二次降价为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2 ∴y=a(1−x)2. 故选D. 6．B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 7．B 【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B到达点G之前，即0＜x＜1时，求出y和x的关系式，确定图象，第二个是点C到达点H之前，即1＜x＜2时，求出y和x的关系式，确定图象，第三个是点C到达点F之前，即2＜x＜3时，求出y和x的关系式，确定图象，即可确定选项． 【详解】解：过点D作DH⊥EF， ∵∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3， ∴EH＝2，DH＝EF＝2， 当0＜x＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x， ∴y＝， ∵， ∴该部分图象开口向上， 当1＜x＜2时，如图， 设A'B'与DG交与点N，A'C'与DG交与点M， 则S重叠＝S△GMC'﹣S△GNB'， 设B'K＝a，则NK＝2a， ∵GC'＝x，B'C'＝1， ∴GB'＝x﹣1， ∵△GKN是等腰直角三角形， ∴GK＝NK， ∴x﹣1＋a＝2a， ∴a＝x﹣1， ∴NK＝2x﹣2， ∴， ∵， ∴S重叠＝﹣（x2﹣2x＋1）＝， ∵， ∴该部分图象开口向下， 当2＜x＜3时，重叠部分的面积为S△ABC，是固定值， ∴该部分图象是平行x轴的线段， 故选：B． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据每个阶段的情况单独讨论，确定y和x之间的函数关系式，从而确定图象． 8．D 【分析】需要分类讨论：①当，即点在线段上时，过作于点，由勾股定理即可求得与的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当，，与的函数关系式是，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当时，则，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点的位置进行分类讨论，以防错选． 【详解】解：如图，过作于点， 则，， ①当点在上时，，，， ， 该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线； 由此可排除A，B，C． ②当时，即点在线段上时，； 则， 该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为； ③当时，即点在线段上，此时，， 则， 该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线； 故选：D． 9． 【分析】根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件，依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件， ∴， ∵每件售价不能高于72元， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键． 10． 【分析】由题意令，得到的值即为水管的长． 【详解】解：在中， 令，得， 水管的长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是理解水管的长即是时的值． 11． 0≤t≤6且t≠3 【分析】（1）当t=0时，求得y的值，即可求解； （2）观察图象，当y≥，顶点除外时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，据此求解即可． 【详解】解：（1）当t=0时，y=−(t−3)2+5=-+5=；即OA=(m)； 故答案为：； （2）当y=时，−(t−3)2+5=， ∴t=0或t=6， ∴当0≤t≤6且t≠3时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间， 故答案为：0≤t≤6且t≠3． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确读图是解答本题的关键． 12．2 【详解】：根据图示及抛物线、正方形的性质，S阴影=S正方形=×2×2=2．故答案为2 13．10 【分析】设抛物线的解析式为，代入原点，确定解析式为，当y=米时，求得x的值即可． 【详解】设抛物线的解析式为，代入原点，得： ， 解得a=， ∴抛物线的解析式为， 当y=米时， ， 解得x=10，x=2（舍去）， 足球飞行的水平距离为10米， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，已知函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14． 【分析】过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得． 【详解】过点 P 作 PH⊥OA 于 H ，如图． 设 PH=3x ， 在 Rt△OHP 中， ∵tanα== ， ∴OH=6x. 在 Rt△AHP 中， ∵tanβ== ， ∴AH=2x ， ∴OA=OH+AH=8x=4 ， ∴x= ， ∴OH=3,PH= ， 故答案为 . 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，二次函数的应用，灵活运用是关键. 15．(1) (2) (3)当米时，水流不落在池外 【分析】（1）喷头离地面的高度是二次函数与的交点，由此即可求解； （2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解； （3）水池的半径是当二次函数时，自变量的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， ∴喷头离地面的高度是米． （2）解：， ∴二次函数的顶点坐标是， ∴水流喷出的最大高度是米． （3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，， ∵， ∴，即当米时，水流不落在池外． 【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是解题的关键． 16．(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）令h=0即可求解； （3）令，得到方程无解即可判断． 【详解】（1）由题意可设关于的二次函数关系式为， 因为当，2时，，20， ∴， 解得：． ∴关于的二次函数关系式为． （2）当，，解得：，． ∴小球从飞出到落地所用的时间为． （3）小球的飞行高度不能达到． 理由如下： 当时，，方程即为， ∵， ∴此方程无实数根． 即小球飞行的高度不能达到． 【点睛】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答． 17．(1)； (2) (3) (4)点的坐标为与 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，即可得出点的坐标，再求出、的长即可求出的坐标； （2）把点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值，即可求出抛物线的解析式； （3）先求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，然后求出的长，再根据进行计算即可； （4）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形： ①若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，由全等三角形的判定定理可得，再由全等三角形的对应边相等可得出点点的坐标； ②若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，同理可证，由全等三角形的性质可得出点的坐标；点、的坐标代入抛物线的解析式进行检验即可． 【详解】（1）解： ，， ， ； 过点作轴，垂足为， ，，， 在与中， ， ， ，， ， 的坐标为， 故答案为：；； （2）把代入得： ， 解得， 抛物线解析式为：． 故答案为：； （3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点， 设直线的关系式为，将点、的坐标代入得： ， 解得． 的关系式为． 设直线和轴交点为，则点，． ； （4）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形： ①若以点为直角顶点； 则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴， ，，， △． ，， ； ②若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴，同理可证， ，， ， 经检验，点与点都在抛物线上， 故点的坐标为与． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定定理、用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据铅球运行的水平距离和最大高度得出函数的顶点坐标； （2）利用顶点和点在抛物线上，求出二次函数解析式； （3）求出当时x的值，从而得到张强这次投掷成绩． 【详解】（1）解：∵铅球运行的水平距离为时，达到最高，高度为． ∴这个抛物线的顶点坐标为； （2）设抛物线的函数关系式为：， ∵顶点坐标为，所以有， ∵点在抛物线上， ∴， 解得： 所以； （3）当时，有， 解得，（不合题意，舍去）， ∴张强这次投掷成绩大约是． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，读懂题意，数形结合和熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $