6.2.2 线段的比较与运算 课件 2025-2026学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“线段的比较与运算”，核心知识点涵盖尺规作线段、比较方法、和差运算、中点与等分点。课堂导入通过“怎样走最近”的实际问题引出两点之间线段最短性质，衔接线段概念，搭建从具体情境到抽象运算的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实，通过最短路径等情境培养几何直观；以数学思维分析问题，如中点分情况讨论发展推理能力；以数学语言表达关系，如线段和差示意图与解题步骤总结。助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

6.2.2 线段的比较与运算 学习目标 01 学习目标 1. 掌握用尺规作一条线段等于已知线段的方法。 2. 学会比较线段长短的两种方法，理解线段的和差及相关概念。 3. 通过学习线段的比较与运算，培养逻辑思维和解决实际问题的能力。 课堂导入 01 课堂导入 在现实生活中，我们经常需要比较线段的长短，比如测量身高或规划最短路线。线段不同于直线和射线，它具有确定的长度，因此可以进行比较和运算。我们可以通过测量长度或重叠法来比较线段的大小。此外，根据“两点之间，线段最短”的基本事实，可以解决路径选择问题。线段的和与差可通过在直线上作图来表示，如和。当一条线段被分成两条相等的部分时，分点称为中点，还可进一步引出三等分点、四等分点等概念。 探究新知-线段的比较与运算 01 提问：如何比较两条线段的长短？你能从比身高中获得什么启发？ 小组讨论后归纳总结： 1. 度量法：使用刻度尺分别测量两条线段的长度，通过比较长度来判断线段的长短。 例如：若线段 ，线段 ，则 。 2. 叠合法：将其中一条线段移到另一条线段上进行比较，如图6.2-11所示： 若点 与点 重合，点 落在点 与点 之间，则 ； 若点 与点 重合，点 与点 重合，则 ； 若点 与点 重合，点 落在点 的右侧，则 。 一、线段的比较方法 提问：如图6.2-12，从 地到 地有多条道路，能否再修一条更短的道路？如果可以，最短道路应如何确定？ 学生动手操作并思考： 将四条道路看作软线，展直后比较长度，发现连接 、 的线段最短。 归纳得出基本事实： > 两点的所有连线中，线段最短。 > 简称：两点之间，线段最短。 提问：你能举出这个性质在生活中的应用吗？ 例如： 修建公路时选择直线路径； 跑步比赛中选手尽量沿直线跑； 飞机航线通常选择两点之间的直线距离。 二、两点之间线段最短的性质 提问：如何在线段上进行加法与减法运算？ 教师引导学生观察图6.2-13： 1. 线段的和： 在直线上作线段 ，再在 的延长线上作线段 ，则线段 ，记作： 2. 线段的差： 若 ，在线段 上截取 ，则剩余线段 ，记作： 学生动手操作：用尺规作图完成线段的和与差。 三、线段的和与差 提问：如何将一条线段分成两条相等的部分？你能想到哪些方法？ 教师展示图6.2-16（1）： 定义： 若点 把线段 分成两条相等的线段 与 ，即 ，则点 叫作线段 的中点。 拓展： 类似地，可以找到线段的三等分点、四等分点等，如图6.2-16（2）（3）所示。 提问：你能用尺规作图作出一条线段的中点吗？ 学生尝试操作并总结步骤： 1. 以点 为圆心，适当半径画弧； 2. 以点 为圆心，相同半径画弧，两弧交于两点； 3. 连接两交点，与线段 的交点即为中点。 通过上述操作，学生理解中点的几何构造方法。 四、线段的中点与等分点 新知巩固-线段的比较与运算 01 题目 第1题：已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点重合），连接。求作：点，使得点在上，且。 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接。 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） 选项： A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 解答 我们分析三位同学的作图方法是否能保证。 -- 甲的作法： 以点为圆心，为半径画弧，交于点。 这样得到的。 但仅保证长度相等，并不能保证方向一致，即不能保证。 因此，甲的作法不一定正确。 -- 乙的作法： 以点为圆心，为半径画弧，交于点。 因为是平行四边形，所以，且。 若，则。 此时，，且，因此四边形是平行四边形。 所以。 乙的作法是正确的。 -- 丙的作法： 以点为圆心，为半径画弧，交于点。 则。 又因为，且，所以是平行四边形。 所以。 丙的作法也是正确的。 -- 结论： 乙和丙的作法都能保证。 正确答案是：B．乙、丙 总结 1.题目考查内容 平行四边形的性质； 尺规作图； 平行线的判定方法。 2.题目求解要点 判断作图是否能构造出平行四边形，从而保证两线平行； 理解尺规作图中“长度相等”与“方向一致”的区别； 掌握平行四边形的判定条件（一组对边平行且相等）。 3.同类型题目解题步骤 1. 明确题目要求（如构造平行线）； 2. 分析作图方法是否能构造出平行四边形； 3. 判断是否满足平行四边形的判定条件； 4. 结合图形性质判断作图是否正确。 题目 第2题：如图，点、在线段上，，，若，则的长为（ ） 选项： A． B． C． D． 解答 设线段的长度为。 根据比例关系： ，说明，； ，说明，。 接下来计算： 已知，代入得： 所以， 正确答案是：B． 总结 1.题目考查内容 线段的分点比例； 线段长度的代数表示； 线段差的计算。 2.题目求解要点 根据比例关系将线段分成若干部分； 用代数式表示各段长度； 利用已知线段差求解未知总长。 3.同类型题目解题步骤 1. 设线段总长为； 2. 根据比例关系写出各部分长度； 3. 列出已知线段差的表达式； 4. 解方程求出总长。 题目 第3题：如图，已知点对应的数为12，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，、始终为、的中点，设运动时间为（）秒。判断以下结论是否正确： ① 对应的数是； ② 点到达点时，； ③ 时，； ④ 在点的运动过程中，线段的长度会发生变化。 选项： A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 解答 ①对应的数是： 对应的数是12，，且在左侧，所以对应的数是。 ✅ 正确。 解答 ② 点到达点时，： 从出发，速度为2单位/秒，，所以时间秒。 ✅ 正确。 解答 ③时，： ，说明距离还有2个单位，即已经走了个单位； 时间秒。 ✅ 正确。 解答 ④ 线段的长度会发生变化： 是的中点，是的中点； ； 所以始终为9，长度不变。 ❌ 错误。 正确结论为①②③ 正确答案是：B．①②③ 总结 1.题目考查内容 数轴上点的表示； 匀速运动的时间与距离关系； 中点的性质； 线段长度的稳定性。 2.题目求解要点 理解数轴上点的坐标与距离的关系； 掌握匀速运动公式：时间 = 距离 ÷ 速度； 理解中点性质，能推导出的长度； 判断线段长度是否变化。 3.同类型题目解题步骤 1. 根据已知点坐标求出另一点坐标； 2. 利用速度公式求时间； 3. 利用中点性质求线段长度； 4. 判断线段长度是否变化。 题目 第4题：如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点。若线段的长为12，则线段的长度是（ ） 选项： A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 解答 已知：，是的中点，所以。 点是线段的三等分点，说明 或 。 情况一： ， 情况二： ， 所以，的长度可能是8或10。 正确答案是：D．8或10 总结 1.题目考查内容 线段中点的性质； 线段的三等分点； 线段长度的分段计算。 2.题目求解要点 理解中点将线段平分； 理解三等分点的两种可能位置； 分情况讨论，分别计算线段长度。 3.同类型题目解题步骤 1. 确定中点位置，求出各部分长度； 2. 分析三等分点的两种可能； 3. 分别计算目标线段长度； 4. 综合得出所有可能结果。 题目 第5题：如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为上一动点，求的最小值。 选项： A． B． C． D． 解答 思路：利用“对称法”求最短路径问题。 轴于点，所以点的坐标是； 在上运动，求的最小值； 构造点关于直线的对称点； 则，当且仅当在与的交点时取等。 步骤： 1. 求直线的斜率： 2. 直线的方程为： 3. 点关于该直线的对称点的坐标： 设，则的中点在直线上，且与直线垂直。 中点坐标为，代入直线方程： 的斜率为，即： 联立两个方程解得： 两边除以： 两边乘3： 所以 4. 计算的距离： 所以最小值为 正确答案是：A． 总结 1.题目考查内容 最短路径问题； 点关于直线的对称点； 两点间距离公式。 2.题目求解要点 利用对称法将折线路径转化为直线路径； 掌握点关于直线的对称点的求法； 熟练使用两点间距离公式。 3.同类型题目解题步骤 1. 确定点关于直线的对称点； 2. 构造直线路径； 3. 计算两点间距离； 4. 得出最小路径长度。 题目 第6题：下列说法正确的个数为（ ） ① 过两点有且只有一条直线； ② 射线和射线表示同一条射线； ③ 两点之间的线段叫做两点间的距离； ④ 如果，则点是线段的中点。 选项： A．1 B．2 C．3 D．4 解答 逐条判断： ① 过两点有且只有一条直线 ✅ 正确，这是直线公理。 ② 射线和射线表示同一条射线 ❌ 错误，射线是从出发经过，而射线是从出发经过，方向不同，不是同一条射线。 ③ 两点之间的线段叫做两点间的距离 ❌ 错误，两点之间的线段的长度才叫做两点间的距离。 ④ 如果，则点是线段的中点 ❌ 错误，只有当点在上且时，才能说是中点。若不在上，即使长度相等也不是中点。 只有①正确 正确答案是：A．1 总结 1.题目考查内容 直线公理； 射线的方向性； 距离的定义； 中点的判定条件。 2.题目求解要点 理解直线、射线、线段、距离、中点的基本定义； 注意中点的两个条件：位置在直线上、长度相等。 3.同类型题目解题步骤 1. 逐条分析命题是否符合定义； 2. 判断是否遗漏条件； 3. 综合判断正确命题个数。 新知应用 01 如图6.2-14，已知线段 、，作一条线段，使它等于 。 例1题目 解答 步骤1：理解题意 题目要求我们根据已知线段 和 ，构造出一条新的线段，其长度为 。这属于线段的加减作图问题。 步骤2：作图分析 1. 首先在一条直线上作出线段 。 2. 接着在线段 的延长线上再作一条线段 ，这样整条线段 。 3. 然后在线段 上截取一段 ，则剩下的线段 。 步骤3：作图过程 使用直尺和圆规： 先画一条直线，并在上面截取 ； 再从点 出发，继续在直线上截取 ，得到点 ； 此时线段 ； 然后以点 为起点，向点 方向截取长度为 的线段 ； 剩下的线段 即为所求线段，其长度为 。 解答 总结 1.题目考查内容 ① 线段的基本作图方法（线段的加减） ② 利用直尺和圆规进行几何作图的能力 ③ 对代数表达式 的几何解释 2.题目求解要点 ① 理解线段加减的几何意义，能将代数表达式转化为几何操作 ② 掌握在直线上连续作线段的方法 ③ 能正确使用圆规截取指定长度的线段 ④ 注意作图顺序：先作 ，再从中减去 ，确保方向正确 ⑤ 熟悉作图工具的使用规范，确保作图准确、清晰 课堂总结 01 课堂总结 （1） 线段有长度，可进行比较与运算。画一条线段等于已知线段，有测量法和尺规作图法。 （2） 比较线段长短，可用测量法或叠合法。两点之间，线段最短，连接两点线段的长度是两点间距离。 （3） 线段可进行和差运算，如， 。把线段分成相等两条线段的点是中点，还有三等分点、四等分点等。 感谢聆听 THANK YOU $