5.1.1 从算式到方程 课件 2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.1.1 从算式到方程 学习目标 01 学习目标 1. 理解方程的概念，能根据实际问题中的相等关系列出方程。 2. 掌握一元一次方程的定义，能识别一元一次方程。 3. 通过从实际问题到方程的过程，培养分析问题能力，体会方程思想。 课堂导入 01 课堂导入 在现实问题中，我们常遇到未知数与已知数之间存在的等量关系。用算术方法解决这些问题时，往往需要逆向思维，过程复杂。而引入方程后，我们可以直接设未知数为字母，再根据问题中的等量关系列出等式，使问题更清晰、解决更简便。例如，设未知时间为，通过“路程等于速度乘以时间”建立等式，从而解决问题。这种从实际问题抽象出方程的过程，是数学建模的重要体现。本章我们将学习如何通过方程求解未知数，掌握一元一次方程的基本特征与解法，体会从算术到代数的飞跃。 探究新知-从算式到方程 01 一、从实际问题出发，引入方程的概念 在解决实际问题时，我们常常需要找到某些未知量的值。例如，在本章引言中的问题中，甲、乙两队的行进速度是已知的，但行进的时间和路程是未知的。如果我们设两队行进的时间为 小时，根据“路程 = 速度 × 时间”，可以分别表示甲队和乙队的行进路程为： 甲队： km 乙队： km 又因为甲队比乙队早出发1 km，乙队比甲队早出发3 km，所以甲、乙两队距大本营的路程分别为： 甲队： km 乙队： km 当甲队追上乙队时，他们距大本营的路程相等，即： 这个等式中含有未知数 ，它表示我们所要求的时间。通过解这个等式，我们可以求出 ，即甲队在5小时后追上乙队。 再来看两个实际问题，进一步体会如何从问题中抽象出方程。 问题1： 用买3个大水杯的钱可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯多5元。设大水杯的单价为 元，则小水杯的单价为 元。根据题意，买3个大水杯的钱等于买4个小水杯的钱，因此可以列出方程： 这个方程同样含有未知数 ，通过解这个方程，我们可以求出大水杯和小水杯的单价。 问题2： 一枚长方形纪念币的面积是4000 mm²，长和宽的比为 。设纪念币的长为 mm，则宽为 mm，面积为： 这个方程中也含有未知数 ，通过解这个方程，我们可以求出纪念币的长和宽。 二、通过实际问题进一步理解方程的建立过程 三、归纳总结：方程的定义与列方程的意义 通过上述问题可以看出，列方程的过程是将实际问题中的数量关系用数学语言表达出来。具体来说，就是： 1. 设未知数：用字母表示问题中未知的量； 2. 找相等关系：分析问题中的等量关系； 3. 列方程：根据相等关系列出含有未知数的等式。 像这样列出的等式叫做方程（equation）。方程中既含有已知数，也含有未知数，它为我们解决实际问题提供了有力的工具。 与算术方法不同，算式中只含有已知数，而方程中可以含有未知数，这使得我们能够更灵活地表达和解决复杂的问题。 四、理解方程的解与解方程的含义 对于前面列出的方程： 当 时，左边为： 右边为： 此时，方程左右两边的值相等，因此 是这个方程的解。 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。 例如： 是方程 的解； 是方程 的解吗？我们可以通过代入验证。 五、观察方程特征，认识一元一次方程 观察以下方程： 它们的共同特征是： 方程中只含有一个未知数（元）； 含有未知数的式子都是整式； 未知数的次数都是1。 像这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。 一元一次方程的一般形式为： 其中， 是未知数的系数， 是常数项。 本章我们将重点研究一元一次方程的解法及其在实际问题中的应用。 新知巩固-从算式到方程 01 题目 下面说法正确的是（    ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 解答 我们逐项分析选项： A项： 方程为： 解这个方程： 所以方程的解是，不是5。A项错误。 B项： 是一个不等式，不是方程。方程是含有未知数的等式，而不是不等式。B项错误。 C项： 等式是表示两个表达式相等的式子，但不一定是方程。例如： 是等式，但不含未知数，因此不是方程。C项错误。 D项： 方程是含有未知数的等式，因此方程一定是等式。D项正确。 正确答案：D 总结 1.题目考查内容 ①方程的定义； ②等式与方程的关系； ③不等式与方程的区别。 2.题目求解要点 ①理解方程的定义：含有未知数的等式； ②区分等式、不等式与方程； ③掌握方程一定是一个等式，但等式不一定是方程。 3.同类型题目解题步骤 1. 明确方程的定义：含有未知数的等式； 2. 判断选项是否为等式； 3. 判断该等式是否含有未知数； 4. 综合判断是否为方程； 5. 区分等式、不等式、方程三者之间的关系。 题目 《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 解答 题意分析： 每人出8钱，总共多出3钱； 每人出7钱，总共还差4钱； 设人数为，则物品的价格可以表示为两种方式： 1. 每人出8钱，多出3钱： 2. 每人出7钱，少4钱： 因为物品价格是同一个，所以这两个表达式相等： 这就是正确的方程，对应选项 B。 总结 1.题目考查内容 ①列方程解决实际问题； ②理解“盈亏”问题中的等量关系。 2.题目求解要点 ①设人数为未知数； ②根据题意列出两种情况下的物品价格表达式； ③利用等量关系建立方程； ④选择与之对应的选项。 3.同类型题目解题步骤 1. 设未知数（如人数、单价等）； 2. 分别列出不同条件下的表达式； 3. 找出相等关系，列出方程； 4. 对照选项，选择正确答案。 题目 关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 解答 我们分析这个方程是否有实数根，需要判断判别式是否大于等于0。 方程为： 判别式为： 要使方程有实数根，需满足： 同时，注意当时，方程变为一次方程： 它也有实数根。 所以，的可能值为： 对应选项 D。 总结 1.题目考查内容 ①一元二次方程有实数根的条件； ②判别式的应用； ③一次方程与二次方程的区分。 2.题目求解要点 ①写出判别式； ②根据判断的取值范围； ③注意当时，方程退化为一次方程，也存在实数根。 3.同类型题目解题步骤 1. 写出方程的一般形式； 2. 列出判别式； 3. 根据判别式判断实数根存在的条件； 4. 考虑特殊情况（如系数为0时是否为一次方程）； 5. 确定参数的可能取值。 题目 若关于的方程的解满足，则（    ） A．10或 B．-10或 C．10或 D．-10或 解答 我们分两步来解题： 第一步：解绝对值方程 解这个绝对值方程： 解得： 解答 第二步：代入原方程求 原方程为： 整理方程： 代入： 代入： 所以， 或 ，对应选项 A。 总结 1.题目考查内容 ①含绝对值的方程求解； ②代数方程中参数的求解； ③方程与解的关系。 2.题目求解要点 ①先解绝对值方程，得到两个可能的解； ②将每个解代入原方程，解出对应的参数； ③注意代数运算的准确性。 3.同类型题目解题步骤 1. 解绝对值方程，得到所有可能的解； 2. 将每个解代入原方程； 3. 解出参数的值； 4. 检查是否满足原方程。 题目 下面的式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 解答 我们逐项分析： A项： 是一个等式，但不含未知数，因此不是方程。 B项： 是一个代数式，不是等式，也不是方程。 C项： 是一个含有未知数的等式，是方程。 D项： 是一个代数式，不是等式，也不是方程。 正确答案：C 01 ①方程的定义； ②等式与代数式的区别。 1.题目考查内容 02 03 ①明确方程的定义：含有未知数的等式； ②判断是否为等式； ③判断是否含有未知数。 2.题目求解要点 1. 判断是否为等式； 2. 判断是否含有未知数； 3. 若同时满足，则是方程。 3.同类型题目解题步骤 总结 题目 已知关于的方程是一元一次方程，则的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 解答 我们分析这个方程： 方程为： 要使它是一元一次方程，必须满足两个条件： 1. 未知数的次数为1，即指数； 2. 系数，否则方程变为，不构成一次方程。 第一步：解指数条件 第二步：排除系数为0的情况 当时，系数，不满足条件； 当时，系数，满足条件。 所以，唯一满足条件的是 3，对应选项 A。 总结 1.题目考查内容 ①一元一次方程的定义； ②指数的绝对值运算； ③系数不为0的条件。 2.题目求解要点 ①根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1； ②解绝对值方程求出可能的值； ③排除系数为0的情况。 3.同类型题目解题步骤 1. 根据次数条件列出指数方程； 2. 解指数方程得到可能的参数值； 3. 检查系数是否为0，排除不合法情况； 4. 确定最终参数值。 新知应用 01 (1) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2) 如图5.1-2，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m²，求正方形绿地的边长。 例1题目 解答 (1) 解题过程： 设这所学校的学生总数为 名。 根据题意，女生人数为 ，男生人数为 。 题目中说“女生比男生多80人”，即： 化简得： 解得： 所以这所学校共有 2000 名学生。 解答 (2) 解题过程： 设正方形绿地的边长为 米。 原来的面积是 平方米。 绿地沿某一方向加宽5米后，变成一个长方形，其长为 米，宽仍为 米。 因此扩大后的面积为： 根据题意，扩大后的面积是 500 平方米，列方程： 整理为标准形式： 使用求根公式或因式分解法解这个方程： 解得两个解： 由于边长不能为负数，所以舍去负解，正方形绿地的边长为 20 米。 总结 1.题目考查内容 ① 一元一次方程的实际应用（问题1） ② 一元二次方程的实际应用（问题2） ③ 利用图形信息建立数学模型的能力（问题2） ④ 利用百分比进行数量关系建模的能力（问题1） 2.题目求解要点 ① 正确设定未知数，理解题意中的数量关系（如“女生比男生多80人”） ② 对于图形问题，能根据图形变化建立面积模型 ③ 掌握一元一次方程和一元二次方程的解法 ④ 注意实际问题中解的合理性判断（如边长不能为负） 例2题目 (1) ， 是方程 的解吗？ (2) ， 是方程 的解吗？ 解答 (1) 解题过程： 将 代入方程左边： 右边为 3，左边不等于右边，所以 不是解。 将 代入方程左边： 右边也为 3，左边等于右边，所以 是方程的解。 解答 (2) 解题过程： 将 代入方程左边： 右边为： 左边不等于右边，所以 不是解。 将 代入方程左边： 右边为： 左边等于右边，所以 是方程的解。 总结 1.题目考查内容 ① 方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值 ② 代入验证法判断某个值是否为方程的解 ③ 简单的一元一次方程的求解与验证 2.题目求解要点 ① 理解“解”的定义，掌握代入验证的方法 ② 准确进行代数运算，注意括号和乘法的顺序 ③ 能够判断代入后左右两边是否相等 ④ 注意题目中给出的多个值，需逐一验证 课堂总结 01 课堂总结 （1）方程是先设未知数，根据相等关系列出的含有未知数的等式，它既含已知数也含未知数，比算式更方便。 （2）使方程左右两边值相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程。 （3）一元一次方程只含一个未知数，含未知数式子是整式，未知数次数为1，如 。 感谢聆听 THANK YOU $