精品解析：天津市第二南开学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

天津市第二南开学校2025-2026学年高三上学期开学考试 高三数学 温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！ 第I卷（选择题共45分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边相同的角的集合，即可解题. 【详解】终边在轴的非负半轴上的角的集合为. 故选：D 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 则，所以. 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】证明充分性时，假设成立，研究是否成立，证明必要性时，假设成立，研究是否成立，即可得出结论. 【详解】充分性：存在成立但不成立的情况，例如，，，，但，因此充分性不成立； 必要性：当时，，因此必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 设，，，则的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解. 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 6. 若正数，满足：，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件等式及均值不等式求解即可. 【详解】因为，为正数，所以， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当，时，取等号. 故选：B. 7. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A发生的概率与事件AB发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P ( B|A)的值. 【详解】根据题意，记小骰子的点数为，大骰子的点数为， 事件A包含的基本事件有“”，“”，“”共3个, 事件A发生的概率， 而事件A B包含的基本事件有“”一个， 可得事件AB发生的概率， . 故选：D 8. 关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 9. 设，对任意实数，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，先由题意得到或，再结合和的符号分类讨论得到结果. 【详解】函数的图象与轴有2个交点和， 所以函数的图象和轴至少有一个交点， 从而，解得或. 函数的图象的对称轴为直线， 设方程的两根分别为，当时，，， 所以和不是函数的零点，函数只有2个零点（如图①），不符合题意； 当时，，，则2不是函数的零点， 函数只有2个零点（如图②），不符合题意； 当时，，，则， 函数只有2个零点（如图③），不符合题意； 当时，函数图象的对称轴方程满足，且， 所以，函数至少有3个零点，符合题意（如图④）. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 第II卷（非选择题共105分） 注意事项： 1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11题，共105分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 的展开式中常数项为______. 【答案】80 【解析】 【分析】首先写出二项展开式，再根据常数项的特征，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为，, 令，得， 所以常数项为. 故答案为： 11. 若tanα＝2，则 的值为_________ 【答案】 【解析】 【详解】 12. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________． 【答案】 【解析】 【分析】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，，用n次独立重复试验概率公式即可求出P(X＝4). 【详解】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，， 则有，4，5. 所以. 故答案为. 【点睛】独立重复试验的特点：（1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；（2）每次试验的结果相互独立． 13. 已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式明确其定义域，探究发现，从而将待求不等式化成，再根据复合函数单调性判断函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由，可得，即函数的定义域为， 由，且， 则， 因函数在上递增且为正数，而函数在上递增， 故函数在上为增函数，又与均为增函数， 故函数在上为增函数， 由不等式，等价于，即， 可得，解得. 故答案为：. 14. 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可以将该问题分成两类解决，一类是前个圆和后个圆各有种颜色，另一类是前个圆和后个圆各有2种颜色，最后根据分类加法计数原理，即可得到结果. 【详解】因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则可以分两类： 一类是，前个圆种颜色，有种方法，后个圆也有种颜色，有种方法，此时有种不同方法； 另一类是，前个圆种颜色，后个圆种颜色，共有种方法. 综上可知，所有的涂法共有种. 故答案为：. 15. 已知函数f（x）＝ex+ax﹣3（a∈R），若对于任意的x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有成立，则a的取值范围是 __. 【答案】（﹣∞，3] 【解析】 【分析】原不等式等价于，构造，由函数单调性的定义可知，h（x）在[1，+∞）上单调递增，即有h'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a﹣3≤xex﹣ex在[1，+∞）上恒成立，构造g（x）＝xex﹣ex，由导数求解函数g（x）的最小值，即可得到a的取值范围. 【详解】原不等式等价于,令，则不等式等价于h（x1）＜h（x2）对于任意的x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2都成立，故函数h（x）在[1，+∞）上单调递增，又函数f（x）＝ex+ax﹣3，则，所以h'（x）在[1，+∞）上恒成立，即xex﹣ex+3﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立，即a﹣3≤xex﹣ex在[1，+∞）上恒成立，令g（x）＝xex﹣ex，因为g'（x）＝xex＞0在[1，+∞）上恒成立， 所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，则g（x）≥g（1）＝0，所以a﹣3≤0，解得a≤3，所以实数a的取值范围是（﹣∞，3]. 故答案为：（﹣∞，3]. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知． （1）求和的值： （2）求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求值即可； （2）根据正余弦二倍角公式可求，再利用余弦差角公式求值即可. 【小问1详解】 ，在第二象限， 又，所以， 即，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，， 则 所以的值为. 17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，在2025年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明5分钟内包了7个粽子，其中豆沙粽3个，红枣粽4个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个，设X表示取到的豆沙粽个数.求 （1）X的分布列； （2）X的期望； （3）求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】（1）的分布列如下： 0 1 2 P （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值为0，1，2，利用超几何分布概率公式计算出概率后得分布列； （2）由期望公式计算出期望； （3）利用互斥事件概率公式求解. 【小问1详解】 的可能取值为0，1，2 则；； 所以的分布列如下： 0 1 2 P 【小问2详解】由（1）可知， 【小问3详解】 记“至少取到一个豆沙粽”记为事件 则. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间； （3）求的对称轴方程； （4）求在上的零点． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式将函数化简为正弦型函数，利用周期公式求解； （2）先求出函数在上的单调递增区间，再找出时的递增区间即可； （3）整体代入法结合正弦函数的对称轴求解； （4）利用函数零点定义和正弦函数的性质，结合角的范围计算求解. 【小问1详解】 所以最小正周期为. 【小问2详解】 令, 解得, 因为, 所以在上的单调递增区间为. 【小问3详解】 令, 即对称轴方程为. 【小问4详解】 令，则， 所以, 所以在上的零点为. 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）在区间上有两个零点，求m的范围. 【答案】（1） （2）单调递增区间，，单调递减区间. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以. 所以在处的切线方程为：即. 【小问2详解】 因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 20. 已知函数有两个不同的零点. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用导数求单调区间，结合图象可解； （2）利用单调性将问题转化为证明，然后构造差函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 的定义域为， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值. 又当x趋近于0或时，趋于， 所以，要使有两个不同的零点，只需满足，即. 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 不妨设，由（1）可知，，则， 要证，只需证， 又在上单调递增，所以只需证，即证. 记， 则， 当时，，单调递增， 又， 所以，即. 所以. 【点睛】本题第二问为极值点偏移问题，关键在于构造差函数，然后利用导数讨论其单调性，单调性结合即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第二南开学校2025-2026学年高三上学期开学考试 高三数学 温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！ 第I卷（选择题共45分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，，则的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 若正数，满足：，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（ ） A. B. C. D. 8. 关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 9. 设，对任意实数，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共105分） 注意事项： 1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11题，共105分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 的展开式中常数项为______. 11. 若tanα＝2，则 的值为_________ 12. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________． 13. 已知函数，则不等式的解集为___________． 14. 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________． 15. 已知函数f（x）＝ex+ax﹣3（a∈R），若对于任意的x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有成立，则a的取值范围是 __. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知． （1）求和的值： （2）求的值． 17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，在2025年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明5分钟内包了7个粽子，其中豆沙粽3个，红枣粽4个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个，设X表示取到的豆沙粽个数.求 （1）X的分布列； （2）X的期望； （3）求至少取到一个豆沙粽的概率. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间； （3）求的对称轴方程； （4）求在上的零点． 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）在区间上有两个零点，求m的范围. 20. 已知函数有两个不同的零点. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $