天津市第二南开学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

天津市第二南开学校2025-2026学年高三上学期开学考试

高三数学

温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．

考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！

第I卷（选择题共45分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．

3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　）

A.  B.

C.  D.

2. 已知角的终边经过点，则（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则“”是“”的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设，，，则的大小关系是（    ）．

A.  B.  C.  D.

5. 函数的图像大致是（    ）

A.    B.    C.    D.  

6. 若正数，满足：，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

7. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 关于函数，给出下列结论：

①的最小正周期为；

②在上单调递增；

③当时，的取值范围为；

④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．

其中正确结论的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 设，对任意实数，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

第II卷（非选择题共105分）

注意事项：

1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．

2．本卷共11题，共105分．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

10. 的展开式中常数项为______.

11. 若tanα＝2，则 的值为_________

12. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．

13. 已知函数，则不等式的解集为___________．

14. 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________．

 

15. 已知函数f（x）＝ex+ax﹣3（a∈R），若对于任意的x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有成立，则a的取值范围是 __.

三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知．

（1）求和的值：

（2）求的值．

17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，在2025年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明5分钟内包了7个粽子，其中豆沙粽3个，红枣粽4个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个，设X表示取到的豆沙粽个数.求

（1）X的分布列；

（2）X的期望；

（3）求至少取到一个豆沙粽的概率.