21.2 解一元二次方程 （专题同步）讲义+练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 （专题同步）练习参考答案 姓名： 班级： 参考答案 一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．B 二、填空题 9．5 10．9 11．​​​​​​​ 12．9 13．4 14．， 三、解答题 15．（1）解：∵ ∵ ∴ ∴当时，有最小值，最小值为， 即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵ ∵ ∴ ∴ （3）解：由题意得：， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，有最大值，最大值为4． 答：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 16．（1）证明：△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m） =4m2+4m+1 =（2m+1）2 ∵（2m+1）2≥0， ∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根 （2）解：解方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0得 x1=3m+1，x2=m， 由题意得 ， 解得 （3）解：m=1，抛物线为y=x2﹣5x+4=（x﹣ ）2﹣ ，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4）， 直线BC的解析式为y=﹣x+4， 当x= 时，y=﹣x+4= ， 所以此抛物线向上平移 或（ + ）个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上， 所以符合题意的n的取值范围是 17．（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2-4ac=4（m-2）2-4（m2-3m+3）=-4m+4＞0， ∴m＜1， 结合题意知：-1≤m＜1． ∵x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2-3m+3， 解得：m1= ，m2= （不合题意，舍去） ∴ （2）解： =-2（m-1）-m2 =-（m+1）2+3． 当m=-1时，最大值为3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 （专题同步）练习解析卷 姓名： 班级： 一、选择题 1．一元二次方程的根为（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【解析】【解答】解：， 即， 解得：，， 故选：C． 【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案. 2．方程 x（x+5）=0 的根是（　　） A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=﹣5 【答案】D 【解析】【解答】解：方程x(x+5)=0 可得x=0或x+5=0 解得：=0，或=-5. 故选：D. 【分析】基于"若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0"这一数学原理，把原方程拆分成两个简单的一元一次方程求解. 3．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：， 配方得，即， 只有选项B符合题意； 故选：B． 【分析】根据配方法解方程即可求出答案. 4．关于x的一元二次方程（m为常数），则该方程（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与m的取值有关 【答案】B 【解析】【解答】解：， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：B． 【分析】计算得，即可得到方程根的情况解题． 5．若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-mx+3=0的一个根是x1=1，另一个根为x2， ∴，解得：x2=3，m=4. 故答案为：D. 【分析】由题意根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=，x1x2=”可得关于x2和m的方程组，解方程组即可求解. 6．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】【解答】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∵， 解得：． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝， ∴， ∴m＝3． 故答案为：A. 【分析】根据根与系数的关系结合得到，即可得出关于m的方程，解出后即可得出m的值，再由根的判别式Δ＞0，即可确定m的值． 7．对于一元二次方程（a≠0），下列说法：） ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】【解答】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性，故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴，故④正确． 故选：B． 【分析】 ① 若，则； ② 若方程有两个不相等的实数根，则，则，故方程必有两个不相等的实数根； ③ 若是方程的一个根， 则，所以或； ④ 若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得，即． 8．如图，在正方形中，E是边中点，F是边上一动点，G是延长线上一点，且．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形， 设， ∵正方形中，E是边中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， 故答案为：B． 【分析】过点G作于H，易证明， 过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，设，根据正方形、矩形及全等三角形的性质，得出ME=4，CG=6，，，由勾股定理得表示出，再利用配方法求出最小值即可． 二、填空题 9．一元二次方程有一个根为1，则　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得，． 故答案为：5． 【分析】根据方程的根的意义，可得出关于a的方程，进而解方程即可求得a的值。 10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　． 【答案】9 【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：。 【分析】根据一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，代入数据求出关于m的关系式，即可求解。 11．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为　 　． 【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：， ， 而， ， ， 故答案为：． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案. 12．小亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为　 　． 【答案】9 【解析】【解答】解：设常数项为，由题意得 ， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即： 解得：， 丢掉的常数项为； 故答案：． 【分析】设常数项为，根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案. 13．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为　 　． 【答案】4 【解析】【解答】解：由方程，可得， 所以，即，所以. 故答案为：4． 【分析】把常数项移到右边，再两边加上16，变形成完全平方的形式，进而得到m的值，得到答案. 14．方程的解为　 　． 【答案】， 【解析】【解答】解：由题意得， 解得，， 故答案为：， 【分析】根据题意直接运用因式分解法解一元二次方程即可求解。 三、解答题 15．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）解：∵ ∵ ∴ ∴当时，有最小值，最小值为， 即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵ ∵ ∴ ∴ （3）解：由题意得：， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，有最大值，最大值为4． 答：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【解析】【分析】（1）利用配方法将二次式化为顶点式，结合完全平方非负性求最值；(2)通过作差法，再配方判断差的符号比较大小；(3)先列面积函数，再配方利用完全平方公式求最值. （1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围； （3）抛物线y=x2﹣（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A．B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】（1）证明：△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m） =4m2+4m+1 =（2m+1）2 ∵（2m+1）2≥0， ∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根 （2）解：解方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0得 x1=3m+1，x2=m， 由题意得 ， 解得 （3）解：m=1，抛物线为y=x2﹣5x+4=（x﹣ ）2﹣ ，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4）， 直线BC的解析式为y=﹣x+4， 当x= 时，y=﹣x+4= ， 所以此抛物线向上平移 或（ + ）个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上， 所以符合题意的n的取值范围是 【解析】【分析】（1）利用判别式得到△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m），化简后分析是否大于等于0即可； （2）解方程用含m的式子表示方程的根，再根据两个实数根一个大于2，另一个小于7列出不等式，然后求出解集即可； （3）根据（2）中的解集得出m的最小整数值，代入抛物线中，得出点A、B、C的坐标，求出直线BC的解析式，然后求出x=时的y值，然后分析如何平移，可使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，即可得解. 17．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x2． （1）若 ，求 的值； （2）求 的最大值． 【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2-4ac=4（m-2）2-4（m2-3m+3）=-4m+4＞0， ∴m＜1， 结合题意知：-1≤m＜1． ∵x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2-3m+3， 解得：m1= ，m2= （不合题意，舍去） ∴ （2）解： =-2（m-1）-m2 =-（m+1）2+3． 当m=-1时，最大值为3 【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得：=-2(m-2)，=； （1）因为方程有两个不相等的实数根，由根的判别式可得可求得m的范围，再将所求代数式通分，把的值和的值代入即可求解； （2）将所求代数式通分，把的值和的值代入即可求解。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 （专题同步）单元练习卷 姓名： 班级： 一、选择题 1．一元二次方程的根为（　　） A． B． C．， D．， 2．方程 x（x+5）=0 的根是（　　） A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=﹣5 3．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程（m为常数），则该方程（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与m的取值有关 5．若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（　　） A． B． C． D． 6．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 7．对于一元二次方程（a≠0），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在正方形中，E是边中点，F是边上一动点，G是延长线上一点，且．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．一元二次方程有一个根为1，则　 　． 10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　． 11．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为　 　． 12．小亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为　 　． 13．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为　 　． 14．方程的解为　 　． 三、解答题 15．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围； （3）抛物线y=x2﹣（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A．B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）． 17．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x2． （1）若 ，求 的值； （2）求 的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 （专题同步）讲义卷 姓名： 班级： 学习目标 1. 理解并掌握解一元二次方程的基本思路：将一元二次方程转化为一元一次方程。 2. 掌握直接开平方法解一元二次方程，并能运用它解决简单问题。 3. 理解配方法的原理，会用配方法将形如 的一元二次方程转化为 的形式，进而求解。 4. 掌握一元二次方程的求根公式的推导过程，并能运用公式法解一元二次方程。 5. 会根据一元二次方程的特点，选择适当的方法（直接开平方法、配方法、公式法）解一元二次方程。 6. 体会转化、降次的数学思想，培养运算能力和逻辑思维能力。 知识点梳理 1. 一元二次方程的一般形式： (其中 、、 是常数，) 2. 解一元二次方程的基本思路： 将一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。 3. 主要解法： (1) 直接开平方法： 适用于形如 或 ( ) 的方程。 (2) 配方法： 通过配方将一般形式的一元二次方程转化为 的形式，再用直接开平方法求解。 (3) 公式法： 对于一般形式的一元二次方程 ( )，当 时，可利用求根公式 求解。 知识点讲解 一、直接开平方法 1. 适用形式： 方程的一边是一个完全平方式，另一边是一个非负常数。即： 1. ( ) 2. ( ) 2. 求解步骤： (1) 对于 ( )，根据平方根的意义，得 或 ，即 。 (2) 对于 ( )，根据平方根的意义，得 或 ，然后解这两个一元一次方程，得 。 3. 注意： (1) 当 时，因为负数没有平方根，所以方程无实数根。 (2) 直接开平方法的实质是降次。 例题： 1. 解方程 解：根据平方根的意义，得 ，即 ，。 2. 解方程 解：根据平方根的意义，得 ， 所以 ，即 ，。 3. 解方程 解：移项，得 ， 两边同时除以 2，得 ， 根据平方根的意义，得 ， 所以 或 ， 解得 ，。 二、配方法 1. 定义： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 2. 核心思想： 将方程 ( ) 转化为 的形式。 3. 配方依据： 完全平方公式 4. 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 的步骤： (1) 移项： 把常数项移到方程的右边，得 。 (2) 配方： 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ，得 。 (3) 变形： 方程左边化为完全平方式，右边合并同类项，得 。 (4) 求解： 如果右边是非负数，即 ，就可以用直接开平方法求出方程的解；如果右边是负数，则方程无实数根。 5. 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 ( ) 的步骤： (1) 化 1： 方程两边同时除以二次项系数 ，使二次项系数化为 1，得 。 (2) 移项： 得 。 (3) 配方： 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得 。 (4) 变形： 得 。 (5) 求解： 若 (即 )，则用直接开平方法求解；否则，方程无实数根。 例题： 用配方法解方程 解：移项，得 ， 配方，得 (两边同时加上一次项系数 6 一半的平方，即 )， 变形，得 ， 根据平方根的意义，得 ， 所以 或 ， 解得 ，。 三、公式法 1. 求根公式的推导： (基于配方法) 对于一般形式的一元二次方程 ( )。 经过配方，我们得到 。 因为 ，所以 。 当 时，，方程两边开平方，得： 移项，得： 即： 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 2. 判别式： 我们把 叫做一元二次方程 ( ) 的根的判别式，通常用希腊字母 (读作“德尔塔”) 表示，即 。 (1) 当 时，方程有两个不相等的实数根：，。 (2) 当 时，方程有两个相等的实数根：。 (3) 当 时，方程没有实数根。 3. 用公式法解一元二次方程的步骤： (1) 化一般式： 将方程化为一般形式 ，并确定 、、 的值。 (2) 算判别式： 计算判别式 的值。 (3) 定根情况： 根据 的值判断方程根的情况。 (4) 代公式求解： 若 ，将 、、 的值代入求根公式 ，求出方程的根；若 ，则方程无实数根。 例题： 用公式法解方程 解：这里 ，，。 计算判别式 。 因为 ，所以方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式，得 ， 所以方程的根为 ，。 四、方法选择建议： 1. 当方程形如 或 ( ) 时，优先选用直接开平方法。 2. 当二次项系数为 1，且一次项系数是偶数时，用配方法可能比较简便。 3. 对于任何一元二次方程，都可以用公式法求解，但当系数较大或判别式的值为无理数时，计算量会较大。公式法是解一元二次方程的通法。 易错点分析 1. 直接开平方法： (1) 忘记平方根有两个，漏掉负根。例如解方程 ，只得到 ，漏掉 。 (2) 当方程右边是负数时，仍试图开平方，忽略了负数没有平方根（在实数范围内）。 2. 配方法： (1) 配方时，只在方程一边加上一次项系数一半的平方，而忘记在另一边也加上相同的数，导致等式不成立。 (2) 当二次项系数不为 1 时，没有先将二次项系数化为 1 就直接配方。 3. 公式法： (1) 确定 、、 的值时，忽略它们的符号。例如将方程 中的 错误地认为是 2，而实际是 -2。 (2) 计算判别式 时出现符号或运算错误。 (3) 记错求根公式，特别是分子中的“-b”以及根号前面的“±”。 (4) 当 时，认为方程只有一个根，而实际上是有两个相等的实数根。 知识点总结 1. 解一元二次方程的关键是“降次”。 直接开平方法、配方法、公式法都是通过不同途径将一元二次方程转化为一元一次方程来求解。 2. 直接开平方法 简单快捷，但适用范围窄，只适用于特定形式的方程。 3. 配方法 是一种重要的数学方法，它不仅可以用来解一元二次方程，还在后续学习中有广泛应用，但步骤相对繁琐。 4. 公式法 是解一元二次方程的通法，适用于所有一元二次方程（在有实数根的前提下），其核心是记住求根公式并正确运用，前提是先将方程化为一般形式并准确计算判别式。 5. 选择合适的解法 可以提高解题效率和准确性。在解题时，应先观察方程的特点，再决定采用何种方法。 6. 无论使用哪种方法，都要注意计算的准确性，并养成检验的好习惯 (虽然预习阶段可能不做强制要求，但检验能帮助发现错误)。 学科网（北京）股份有限公司 $