2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案（第二课时）恒成立和存在问题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案（第二课时） —恒成立和存在问题 1、 学习目标 1. 掌握一元二次函数、一元二次不等式的应用。学会处理各种恒成立问题。 2. 分清楚恒成立各个题型的区别和练习，提高问题分析能力。 2、 学习重难点 重点：恒成立问题的处理。 难点：恒成立问题方法的掌握。 3、 知识点自主预习 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 四、典例详解 考点01：一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 例1.（1）．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. （2）．若关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意可知，求解不等式即得参数范围. 【详解】因为不等式的解集为R， 则， 即，解得， 故实数的取值范围为. 考点02：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 例2（1）．若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出不等式的解集后，把问题转化为，再利用分类讨论思想进行列不等式求解． 【详解】不等式的解集为． 由题意知， 从而或， 解得或． 所以实数的取值范围为， 故答案为：． 2．已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）通过移项、整理，转化为标准的一元二次不等式形式，再对这个一元二次不等式对应的一元二次方程求根，再根据这个一元二次不等式对应的二次函数的图象性质（开口方向、根的大小关系）来确定不等式的解集. （2）将不等式转化为小于等于一个关于的函数的形式，整理这个关于的函数的形式，利用基本不等式求出其最小值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 令， 可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）因为，可得． 因为，得，所以，即. 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以 . 因为，所以，即实数的取值范围是. 考点03：一元二次不等式在某区间有解问题问题 例3（1）．已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. （2）．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 考点04：最值法 例4、（1）若时，不等式恒成立，求的取值范围。 解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。 （1） 当即：时， 又所以不存在； （2） 当即：时， 又 （3） 当 即：时， 又 综上所得： （2）函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 解：若对任意，恒成立， 即对，恒成立， 考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得 而抛物线在的最小值得 注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。 考点05：分离变量法 例5.（1）．若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． 【答案】－4 【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】∵当时，恒成立， ∴恒成立， 又当时，，当且仅当x＝2时取等号． ∴， ∴，故a的最小值为－4. 故答案为：. （2）．若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【详解】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，所以， 故答案为：． 考点06：变换主元法 例6．（1）对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。 ．解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。 当时，应有解之得。 故的取值范围为。 注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。 （2）若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。 解：设，对满足的，恒成立， 解得： 5、 练习提升 1．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离计算可得，再利用充分不必要条件定义即可判断. 【详解】由，因为，所以， 要想该命题为真命题，只需，四个选项中只有A符合充分不必要的性质. 故选：A. 3．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 5．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 6．已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可； 【详解】命题：，为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 7．（多选）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先把已知化简为，再结合充分条件的定义得出条件即可. 【详解】因为所以恒成立， 因为，当取等号，所以， 因为，所以是的充分条件. 因为，所以是的充分条件， 又都不能推出，所以CD错误， 故选：AB. 8．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【分析】由题意可得，且方程的两根为和1，根据根与系数的关系可得，从而可判断A；由可判断B；不等式可化为，求解可判断C；利用换元法，根据二次函数的性质求出的最小值，从而可判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，解得, 所以，解得，故A正确； 由，可得，故B错误； ，即为， 即，即，解得，故C正确； 由B选项可得，设，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为不等式恒成立， 所以，解得，故D正确. 故选:ACD. 9．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围. 【详解】由两个正实数，满足， 得，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为不等式恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10．任意都是不等式的解，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由题可转化为在上恒成立，令，整理得，再利用对勾函数函数得到最小值即可. 【详解】由题知，即不等式在上恒成立， 则，又，所以令， 即，所以， 又，当，即时取等号， 所以在上单调递减， 所以. 故答案为：. 11．. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 （2）即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 12．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) (3) 【分析】（1）根据条件，分和两种情况，利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，令，得到，再求出的最小值，即可求解； （3）设，将问题转化成时，恒成立，从而得到，即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）因为，所以，，则， 令，则，得到， 设，，显然在单调递增， 当时，，当时，，所以，则， 所以，即的取值范围是． （3）设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，构造一次函数，将问题转化成在区间上恒成立，从而得到，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案（第二课时） —恒成立和存在问题 1、 学习目标 1. 掌握一元二次函数、一元二次不等式的应用。学会处理各种恒成立问题。 2. 分清楚恒成立各个题型的区别和练习，提高问题分析能力。 2、 学习重难点 重点：恒成立问题的处理。 难点：恒成立问题方法的掌握。 3、 知识点自主预习 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 四、典例详解 考点01：一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 例1.（1）．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 （2）．若关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围． 考点02：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 例2（1）．若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 2．已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 考点03：一元二次不等式在某区间有解问题问题 例3（1）．已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． （2）．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 考点04：最值法 例4、（1）若时，不等式恒成立，求的取值范围。 （2）函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 考点05：分离变量法 例5.（1）．若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． （2）．若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________． 考点06：变换主元法 例6．（1）对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。 （2）若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。 5、 练习提升 1．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 9．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 10．任意都是不等式的解，求实数的取值范围 . 11．. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 12．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $