精品解析：江苏省宿迁市第一高级中学、洋河如东中学2024-2025学年高三下学期教学质量检测（2.5模）数学试卷

2024—2025学年度第二学期学业质量检测 高三数学 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含[单选题（1～8）多选题9～11，填空题（第12题～第14题，共73分）、解答题（第15～19题，共77分）].本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置. 3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效. 4.如有作图需要.可用2B铅笔作图.并请加黑加粗.描写清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合的交集的概念及运算，即可求得，得到答案. 【详解】由题意，集合， 根据集合的交集的概念及运算，可得. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合交集的概念及运算，属于基础题. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的运算逐项判断即可. 【详解】因为，则， 所以，，，，，B对，ACD均错. 故选：B. 3. 已知是单位向量，若，则（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，然后求解. 【详解】，即，， 故选：B. 4. 春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下（单位：天）：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为5 B. 这组数据的平均数为5 C. 这组数据的第60百分位数为6 D. 这组数据的极差为5 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数，平均数，百分位数，极差的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，这组数据的众数为，故A错误； 对于B，这组数据的平均数为，故B错误； 对于C，将这组数据按从小到大的顺序排列为， 因为， 所以这组数据的第60百分位数为6，故C正确； 对于D，这组数据的极差为，故D错误. 故选：C. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知等式变形得出，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式. 【详解】因为，，可得出，，， 以此类推可知，对任意的，， 且， 所以，或（舍）， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 故，故. 故选：C. 6. 设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 7. 一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆锥的特征即表面积公式、圆的面积公式计算即可. 【详解】 由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分为一圆台， 且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆锥上的截面； 圆台的下底面即原圆锥的底面. 不妨设圆台上底面半径为，圆台下底面半径为， 小圆锥母线长为，原圆锥母线长为， 由轴截面为正三角形知，， 则小圆锥底面积为，底面周长为，侧面积为， 易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积 则圆台侧面积为，下底面积为 由于两部分表面积相等，则， 因为，则， 所以截面面积为. 故选:A. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数确定函数在的单调性，再结合偶函数的性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是偶函数，求导得，令， 求导得，函数在上递增， 当时，，函数在上单调递增， 不等式， 则，令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， 当时，，令函数，求导得， 函数在上递增，当时，，成立， 当时，，不成立， 所以不等式的解集为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共8项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理可判断A正确，根据展开式通项可判断B错误、C正确，根据所有项的二项式系数之和为可得D正确. 【详解】对于A，易知的展开式中共有8项，即A正确； 对于B，设展开式中的第项为, 令，解得； 因此含项的系数为，所以B错误； 对于C，令，此时不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C正确； 对于D，易知所有项的二项式系数之和为，可得D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数为偶函数 C. D. 在区间上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，为锐角，且，，利用余弦型函数的奇偶性可判断AB选项；利用正弦型函数的最值可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】由辅助角公式可得， 为锐角，且，， 因为，则，可得， 所以，，因为，故， 对于A选项，， 且，故， 即函数不是偶函数，A错； 对于B选项，， 即函数为偶函数，B对； 对于C选项，， 所以，，C对； 对于D选项，因为，且当时，， 由于，故函数在区间上单调递减，D对. 故选：BCD. 11. 如图，四棱锥的外接球球心为点O，且底面为正方形，平面．若点M为上靠近点D的三等分点，点P，Q分别为线段与平面上的点，则最小时，下列说法正确的是（ ） A. B. 点P为线段的中点 C. 平面截四棱锥所得的截面是直角梯形 D. 三棱锥的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直，可得线线垂直，结合直角三角形的外接圆，可得其正误；对于B，根据点到平面距离以及旋转，将问题转化为平面问题，结合图象，可得其正误；对于C，平行的传递性，结合平行线的比例以及线面垂直的性质，可得其正误；对于D，根据三棱锥的体积公式，结合直角三角形面积计算以及等积变换，可得其正误. 【详解】对于A，连接，如下图： 因为平面，且平面， 所以，，， 因为在正方形中，，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理可得， 因为为的斜边， 所以的中点到的距离都等于的一半， 则球心就是的中点，如下图： 在正方形中，， 在中，， 在中，， 则，， 由，则易知，则， 故A正确； 对于B，由平面，则当平面时，最短， 因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 将绕旋转到的位置，使得平面， 在平面中，过作，垂足为，如下图： 易知，，由图可知， 在正方形中，由，则， 在中，，则， 易知，所以，， 在中，， 易知为的三等分点，如下图： 故B错误； 对于C，由B可知，易知， 在中，过作，交于，连接，如下图： 易知，，即，，即， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故C正确； 对于D，由题意可作图如下： 由C易知平面，由，则， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，，， 所以三棱锥的体积，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线的斜率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求导即可求解. 【详解】由可得， 故当时，， 故在点处的切线的斜率为， 故答案为： 13. 在学校三月文明礼仪月中，学生会4位干事各自匿名填写一张《校园设施改进建议卡》，老师将建议卡打乱顺序后，要求每人随机抽取一张进行互评审核，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】假设所有人拿到自己的卡，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡，相当于从4人中选两人交换自己的卡，据此可得答案. 【详解】假设所有人拿到自己的卡，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡，相当于从4人中选两人交换自己的卡，有种可能，而每人随机抽取一张有种可能性， 则相应概率为：. 故答案为： 14. 已知实数a，b满足，记a的取值集合为M，则M中的整数有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，根据几何意义，根据点与圆的位置关系求得a的取值集合，即可求解. 【详解】设，则根据题意得， 由的几何意义知， a为曲线上的点到原点的距离的平方， 由于曲线为圆的一部分，如图： 圆心为，半径，圆心到原点的距离为， 所以圆上一部分的点到原点的距离范围为， 此时，又当时，， 综上，当时，， 所以M中的整数有0，1，2共计3个． 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为，为边上一点，满足， ①求的周长； ②求的长. 【答案】（1） （2）①的周长为,② 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角. （2）①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得，可得为等边三角形，进而求得周长； ②根据余弦定理求. 【小问1详解】 由， 可得，，即， 即，又， 则，即. 【小问2详解】 ①因为，所以. 由余弦定理：， 则，即，则， 所以，即为等边三角形， 则的周长为. ②由，所以， 在中，由余弦定理得， ， 所以. 16. 2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 10 12 16 19 11 （1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望. 参考公式：在线性回归方程中，，. 【答案】（1），预测春节假期第8天的营业额为千元 （2）的分布列为 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求解即可； （2）利用超几何分布求解即可. 【小问1详解】 ， . ， 线性回归方程为 当时，. 即预测春节假期第8天的营业额为千元. 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为：1，2，3，4. ，， ， 的分布列为 1 2 3 4 的数学期望为 17. 如图，四棱锥的体积为，底面为平行四边形，底面，的面积为． （1）求点到平面的距离； （2）设，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出三棱锥的体积，利用等体积法可求得点到平面的距离； （2）取的中点E，连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 四棱锥的体积为，底面为平行四边形，底面， 则， 所以，， 在四棱锥中，设点到平面的距离为． 则，解得， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 如图，取的中点，连接， 因为，所以， 又二面角为，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以，平面， 因为平面，所以，， 因为四边形为平行四边形，则，所以，， 因为平面，平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 由（1）得， 因为，，则， 因为为的中点，则，故， ，可得， 故， 则、、、、， 则，，， 设平面的一个法向量，则， 取，可得， 设与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. （1）求的方程； （2）已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围； （3）若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 【答案】（1） （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程，可得，再利用椭圆的定义可得，即可得椭圆方程； （2）根据两点距离公式，结合二次式的性质即可求解； （3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据正切和差角公式以及斜率公式化简求解. 【小问1详解】 由已知，将代入椭圆方程得，解得， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，则， ， 因为当为的右顶点时，取得最小值， 即时，取得最小值， 所以，即， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 设，（且），，， 将与联立得， 则，， 又分别为直线的倾斜角， 因为， 所以为定值， 又 ， 又为定值，则，所以， 当时，，为定值， ， 所以，. 19. 已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. （1）判断是否为上的非负函数，并说明理由. （2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. （3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 【答案】（1）是上的非负函数.理由如下：因为，，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，故是上的非负函数. （2） 由，，得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则. 因为为上的非负函数，所以，解得，则. 因为，所以为等差数列. （3） 由，，得. 因为且，所以由得，，解得， 由得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 由为上的非负函数，得，则，. 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，则，从而在上恒成立. 令，得，则，从而在上恒成立， 故，当且仅当时，等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）通过求导分析函数单调性可得，即可判断结论. （2）通过分析函数单调性得，根据得，即可证明结论. （3）通过分析函数单调性结合得，通过构造函数，利用放缩法可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是分析函数单调性得到，结合非负函数的定义得到，即可证明结论.解决第（3）问的关键是通过分析函数单调性得到，根据为上的非负函数得到，通过构造函数，利用放缩法证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期学业质量检测 高三数学 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含[单选题（1～8）多选题9～11，填空题（第12题～第14题，共73分）、解答题（第15～19题，共77分）].本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置. 3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效. 4.如有作图需要.可用2B铅笔作图.并请加黑加粗.描写清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是单位向量，若，则（ ） A. B. C. 8 D. 4. 春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下（单位：天）：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为5 B. 这组数据的平均数为5 C. 这组数据的第60百分位数为6 D. 这组数据的极差为5 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共8项 B. 含项的系数为480 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为128 10. 已知函数，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数为偶函数 C. D. 在区间上单调递减 11. 如图，四棱锥的外接球球心为点O，且底面为正方形，平面．若点M为上靠近点D的三等分点，点P，Q分别为线段与平面上的点，则最小时，下列说法正确的是（ ） A. B. 点P为线段的中点 C. 平面截四棱锥所得的截面是直角梯形 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线的斜率是_______. 13. 在学校三月文明礼仪月中，学生会4位干事各自匿名填写一张《校园设施改进建议卡》，老师将建议卡打乱顺序后，要求每人随机抽取一张进行互评审核，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡的概率为__________. 14. 已知实数a，b满足，记a的取值集合为M，则M中的整数有______个． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为，为边上一点，满足， ①求的周长； ②求的长. 16. 2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 10 12 16 19 11 （1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望. 参考公式：在线性回归方程中，，. 17. 如图，四棱锥的体积为，底面为平行四边形，底面，的面积为． （1）求点到平面的距离； （2）设，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. （1）求的方程； （2）已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围； （3）若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 19. 已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. （1）判断是否为上的非负函数，并说明理由. （2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. （3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $