专题10 函数的零点（八大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期人教A版必修第一册）

专题10 函数的零点 重难点题型1 求函数的零点所在区间（二分法） 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【分析】利用二分法即可判断. 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点、零点存在性定理的应用、二分法求函数零点的过程 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又，， 由零点存在性定理知零点在区间上， 所以第二次应该计算，又， 所以零点在区间上． 故选：A． 4．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B 4．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后的区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为 ． 【答案】2.75 【难度】0.85 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求函数零点的过程 【分析】计算出，，，结合二分法得到答案. 【详解】， ，， 故由零点存在性定理知，内存在零点，下一步需计算. 故答案为：2.75 重难点题型2 根据零点的区间，求参数范围 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】由零点存在定理求解． 【详解】易知在上是增函数， 它的零点在区间上， 则，解得， 故选：C． 2．函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】运用零点存在性定理计算即可. 【详解】函数在定义域上连续且单调递增， 因为函数零点在区间内，则，解得. 故选：D. 3．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 4．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断. 【详解】因为， 当时，，所以，没有零点，故A错误； 当时与在上单调递增，所以在上单调递增， ，要使有零点，则需， 即，令，则在上单调递减， 且，，， 所以存在使得， 所以有零点的充要条件为， 所以使有零点的一个充分条件是. 故选：D 5．（24-25高一上·山东济宁·周测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】分析函数在上的单调性，结合题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在区间上为增函数， 因为函数在区间上存在零点， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 重难点题型3 求函数零点的个数 1．（2025高二下·湖南郴州·月考）函数在定义域上的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据题意，令，求得方程的解，结合函数零点的概念，即可得到答案. 【详解】由函数，令，可得， 解得或，所以函数在定义域上的零点个数是2个. 故选：C. 2．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）函数的图象与x轴的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数函数图象的应用、指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用函数零点的意义，将问题转化为两个函数图象交点个数求解. 【详解】函数的图象与x轴的交点的横坐标， 即方程的解， 亦即函数的图象交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 观察图象知，函数的图象有2个交点， 所以函数的图象与x轴的交点个数为2. 故选：B 3．（24-25高一上·北京房山·期末）函数的零点个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可. 【详解】令，则， 在同一坐标系作出两函数图象，    从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点， 又，所以也是的两个零点， 且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点， 则总共有3个零点， 故选：D 4．函数 的零点的个数为 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，转化为两个函数图象交点个数，来判断出零点的个数. 【详解】令，得，即， 作出与的图象，可知它们只有2个交点. 故答案为：2. 5．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）函数的零点个数为 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 6．（24-25高一上·云南昆明·月考）函数的零点个数为 【答案】 【难度】0.94 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用指数函数和对数函数图象来研究函数零点个数即可. 【详解】由函数的零点个数等价于方程解的个数， 又等价于与的交点个数， 作图： 由图可得与的交点个数为， 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，.则关于的方程在区间上解的个数为 . 【答案】2014 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数新定义 【分析】画出的函数图象，0不是方程的根，转化为与在的交点个数，数形结合得到答案. 【详解】画出的函数图象，如下：    当时，，0不是方程的根， 当时，由得， 故方程在区间上解的个数即为与在的交点个数， 其中在上单调递减， 当时，，故两函数无交点， 当时，，，有1个交点， 同理当时，，，有1个交点， 依次类推，……， 当时，，，有1个交点， 当时，，，不是方程的根， 综上，与在的交点个数为. 故答案为：2014 重难点题型4 根据函数零点的个数，求参数范围 1．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数，若实数，则方程根个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】画出具体函数图象、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据分段函数作出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项. 【详解】令，得， 根据分段函数的解析式，作出函数的图象，如下图所示， 因为，由图象可得出函数的零点个数为3个， 故选：D. 2．（24-25高二下·北京东城·期末）设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分别确定函数与函数的零点，根据函数图像即可确定的取值范围. 【详解】根据题意函数的零点为， 函数的零点为， 又恰有两个零点，所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·贵州遵义·周测）已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递增， 由函数在内有唯一零点，得，解得， 所以实数b的取值范围是. 故选：D 4．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知函数至少有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用两曲线的图象特点进行求解即可. 【详解】令，即，可得， 令，，原题意等价于曲线与至少有一个交点， 如图，注意到与的对称轴均为，可得，即，即，. 故选：B. 5．（24-25高一下·福建·期中）已知函数，若在R上有2个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据时，一定有一个零点，故只需在时有一个零点即可，列出不等式求解即可. 【详解】当时，有1个零点， 则当时，只有一个零点， 即方程在时有一个解，即方程在时有一个解， 因为函数为增函数，且当时，，则，即. 故选：A. 6．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据对数函数性质得在上有一个零点，进而分析函数在有两个零点，然后利用二次函数零点分布列不等式组，即可求解. 【详解】当时，由，得，则在上有一个零点； 若有3个零点，则在时函数必有两个零点， 因为，所以函数在有两个零点， 当时，无零点，不合题意， 当时，由题意在有两个零点，且， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 7．（24-25高二下·福建·期末）已知函数有唯一零点，则负实数 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】设，证明为偶函数，由条件结合偶函数性质列方程求，检验所得结果即可. 【详解】因为， 则， 设， 因为函数的定义域为，故函数的定义域为， 函数的定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，函数的图象关于轴对称， 因为函数有唯一零点， 所以函数有唯一零点， 所以，所以，故， 又，解得. 当时，，， 当是，，，， 所以当时，，结合函数为偶函数，可得当时，， 所以函数只有一个零点，且零点为， 所以当时，函数只有一个零点. 故答案为：. 重难点题型5 “自我嵌套”函数的零点问题 1．（24-25高二下·福建·期末）已知函数，当时，关于的方程的实数解的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数解析式画出函数图象，令，则，结合函数图象可得与有个交点，则问题转化为，的解得个数，结合函数图象即可判断. 【详解】因为的图像如图所示： 令，则，因为，由图像可知，关于的方程有三个解分别为， ，从图像中可以看出，，令，所以， 所以方程无解，有两解，有两解，故关于的方程有四个解. 故选：C 2．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 3．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、对数的运算、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】设，先解出，再分别求解即可. 【详解】设，则， 若，则，解得或， 则或， 当时，，不合题意， 则，或， 解得，此时方程仅一个根； 若，则，解得或，即或， 当时，或， 方程即在仅一个根， 方程，即， ，且，，两根均为负，合题意， 当时 ，，解得或，方程有两根， 综上，方程的实根个数为6. 故选：C. 4．（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】令，则有，解得，，，，再结合函数的图象，分别求出的解的个数，即可得答案． 【详解】因为，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，； 当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又； 作出函数的图象，如图所示： 令，则有， 易得此时有4个解，分别为，，，， 结合图象可得： 当时，即，此时有1个解； 当，即时，有4个解； 当，即有3个解； 当，即有3个解； 所以原方程共有个解． 故选：D 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于令，将题意转化为方程的实数根个数，画出函数图象，结合图象求解. 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则函数有 个零点． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】设，则等价于，作出函数的图象，由图可得有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数即可. 【详解】令，则，设，则方程化为， 函数的零点个数即为方程解的个数， 二次函数的图象开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 作出函数的图象，如图， 由图知有3个根，当时，，解得； 当时，，解得， 在方程中，当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，无解，共1个解， 所以函数有7个零点. 故答案为：7 6．（23-24高一上·福建福州·周测）函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】作出的图像，将问题转化为函数与和两条直线的交点的个数. 【详解】作出的图像如图，令，令， 令，则函数，令或，即或， 所以函数的零点转化为函数与和两条直线的交点， 由图可知，交点个数为2个（和），所以函数的零点个数为2 . 故答案为：2 7．（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数，则方程的根的个数是 个． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】讨论和两种情况，根据解析式，由求出的值，再求的值，即可得出结果. 【详解】当时，由可得，解得， 若，则，解得（正值舍去）或； 若，则，解得； 当时，由可得， 解得，或； 若，则恒成立，此时和都无解； 若，则，所以或， 解得或； 综上，方程的根的个数是. 【点睛】方法点睛： 判断函数零点个数（方程根的个数）的常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根； （2）数形结合法：先对解析式（或方程）变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 重难点题型6 “与二次函数嵌套”函数的零点问题 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象的对称性性，确定方程和的根，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，关于的方程，即，解得：或， 作出函数的大致图像，如图所示， 当时，有三个根，其中一个根为2，另两个根关于直线对称； 当时，有两个根，这两个根也关于直线对称. 所以原方程一共有5个根，可得，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】作出的图象，令，判断出的范围，将问题转化为二次方程在区间上有两个不等实根问题，再结合二次函数根的分布列不等式组即可得到的范围. 【详解】因为为偶函数，且当时，， 所以的大致图象如题所示， 令，则方程化为， 结合图象可知当时，有4个不同的实根， 所以原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实根， 令，则，解得， 即实数的取值范围为， 故选：A 3．（24-25高二下·河北·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】并画出图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可. 【详解】∵， 当时， 在上为减函数， 当时，即在上为增函数，， 当时，在上为增函数， 作出函数的图象如图所示： 设， 当时，方程有1个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有3个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有1个解， 当时，方程有0个解， 方程等价为， 要使关于的方程恰有4个不相等的实数根， 等价为方程有两个不同的根，且当时，方程有1个解， 所以时，方程有3个解，所以，即得. 故选：A． 4．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点、函数图象的应用 【分析】先求解方程，再根据图象确定零点个数. 【详解】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6． 故选：C. 5．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】求出零点判断AB；令，利用韦达定理确定方程根的范围，结合函数图象判断CD. 【详解】对于A，当时，，当且仅当取等号， 当时，由，，解得，因此的零点个数为1，A错误； 对于B，当时，由，得或， 当时，在上单调递增，，， ，则由，得；由，得，有2个不同的零点，B正确； 对于C，令，由，得，， 当时，方程有两个不等实根，则， ，，因此，函数的图象，如图： 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的负根， 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的正根， 因此有4个不同的零点，C正确； 对于D，当时，由选项C知，方程有两个不等实根， 则，，，因此， 观察图象知，直线、与的图象没有交点，即无零点，D错误. 故选：BC 6．（2025高三·全国·专题练习）（多选题）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ） A．方程有2个不相等实数根 B．函数在上单调递增 C．函数无最值 D．实数的取值范围为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】画出函数图象，根据图象可以判断ABC是否正确，对于D选项，将方程是为一元二次方程，利用韦达定理，结合分段函数的图象性质，得到根的分布，进而求出参数的取值范围． 【详解】由函数解析式，可得函数图象如图： 由图知方程有2个的不相等实数根，函数没有最值，故A、C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 由于方程有4个不同的实数根，令， 则有2个不同的实数根，所以恒成立， 设两个不等的实根为，由韦达定理知：， 则异号，由图可知：， 即函数有两零点 ，解得，故D错误. 故选：AC. 7．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 关于x的方程有六个相异的实数根， 则方程在内有两个不同实数根，所以， 解得，因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·湖南·期末）已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实根，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】令，即得，解得或，作出函数的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】令，则有，即，所以或， 作出函数的图像： 当时，与有两个不同的交点， 即只需与有3个不同的交点即可， 由图可知：，所以， 故答案为：. 重难点题型7 等高线问题 1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示：    若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 2．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得，利用对数运算可得，再利用函数图象及性质求出的取值范围即可. 【详解】函数的图象对称轴，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 令，则函数的图象与直线有4个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象，得，，由，得， 由，得，则， 函数在上单调递减，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高一下·辽宁·开学考试）设函数且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】作出函数的图象，确定的范围并求出的范围，结合方程的根把目标式表示为的函数，再求出函数值域即可. 【详解】依题意，当时，，当时，为方程， 即的两个根，则， 又当时，，当且仅当时取等号， 作出函数的图象，观察图象知，当且仅当时，方程恰有3个不同的实根， 由，得， ，而当或时，， 因此，所以的取值范围是. 故选：D 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将方程有四个不同的实数根，转化为函数，有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当时函数值为，当趋近于时，函数值趋于正无穷； 在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当趋近于0时趋近于，当趋近于时趋近于，如图所示： 由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图知：， 设为方程的两根，即的两根，即的两根， 则，设为方程的两根，即的两根， 则，因此， 由，得，即，则， 所以． 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用利用数形结合法确定的范围，进而利用函数法求解． 5．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）（多选题）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意作出函数图像，根据函数图像可确定ABC，利用基本不等式可判断D. 【详解】根据函数，作出函数图像， ，则，，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，又，所以，故D错误； 故选：ABC. 6．（24-25高二下·广西崇左·期末）（多选题）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求零点的和 【分析】根据解析式及对数函数性质画出函数大致图象并确定函数的相关性质，进而得且，，进而判断各项的正误. 【详解】由解析式，在，上单调递减，在，上单调递增， ，，可得函数大致图象如下， 由，且，则， 所以，易知，且， 所以，， 综上，. 故选：ABD 7．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知函数（i）方程的解集为 ；（ii）若函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（i）分讨论，求解即可；（ii）使用等价转化，参变分离，得到，，然后结合图形，得到的范围，根据韦达定理求解可得. 【详解】（i）①或；②. 所以方程的解集为. （ii）函数有四个不同的零点等价于方程有四个不同的根， 当时，满足上式；当时，；当时，. 作出图像： 由，所以，所以， 当时，有最大值，在处取得，且为， 令，所以； 对函数，令，所以， 则，两函数图像有3个交点， 令，所以 综上所述：. 故答案为： 8．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数,若，则 ；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是 【答案】 或 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、函数与方程的综合应用 【分析】根据函数解析式和函数值，直接求解即可求得；数形结合求得的关系，再根据的取值范围，即可求得结果. 【详解】当时，，即，解得；当时，，即，解得； 故当时，或； 有三个不同的实根，也即与图象交点的横坐标为； 数形结合可知，若有三个不同的实数根，则，且； 当时，令，解得，故； 故. 故答案为：或；. 重难点题型8 综合问题 1．（24-25高二下·浙江舟山·期末）记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】化简函数的解析式为，令，由可得出，则直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】令，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，故当时，，此时； 当时，，此时， 所以. 当时，令，可得； 当时，令，可得. 令，则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，要使得直线与函数的图象有三个交点， 只需，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：D. 2．已知函数是定义域为的奇函数；且，当时，，，则下列结论不正确的是（ ） A． B．函数的图象关于对称 C．的值域为 D．函数有9个零点 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】用计算判断A；求出函数在一个周期长的区间内的解析式，分析函数性质判断BC；作出函数的图象和直线分析逐项求解判断D. 【详解】对于A，由是上的奇函数，，得， ， 因此，A正确； 对于BC，由是上的奇函数，，得， 即，函数是周期为4的奇函数，当时，， 则当时，，， 因此当时，，当时，， 当时，， 于是当时，， 而，则函数的周期为4， 当时，，当时， 当时，，当时，， 在上，函数有最小值，最大值，函数值集合为， 因此函数在有最小值，最大值，值域为，C错误； 当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，满足， 因此当时，，即函数在上的图象关于直线对称， 由于周期为4，则是在R上的图象的一条对称轴， 从而函数的图象关于对称，B正确； 对于D，作出直线与函数的图象， 由，得或，则当或时，直线与函数的图象无交点， 观察图象知，直线与函数的图象有9个交点，因此函数有9个零点，D正确. 故选：C 3．（2025·天津南开·模拟预测）设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将方程转化为关于的二次方程，通过两个函数图象的交点个数即可求解. 【详解】因为, 所以，即， 整理得． 因为方程有两个实数解，所以方程有两个实数解. 令， 则函数与的图象有两个交点. ①当时，，由图象可知，两函数有4个交点，故不合题意； ②当时，易知，且， 令,得, ，令, 得, 若与的图象有两个交点，需满足，解得． ③当时，易知． 由②的分析可得，若与的图象有两交点，需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高三下·广东东莞·月考）1.设函数满足下列条件：①若且则存在实数，使得；②方程至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解；③；④；⑤.则 . 【答案】2026 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、根据函数的单调性解不等式、函数与方程的综合应用、求函数值 【分析】设，由③得，设是的最小根，由②得，根据①⑤证得，且是方程的根，得，进而，得，再结合④即可得的值. 【详解】令，则． 设是的最小根，则． 若，则对于，由①及得出：存在，使得． 由⑤可知，矛盾，所以． 对于任意实数，由⑤有． ∴是方程的根． ∵是的最小根， ∴． 从而，，即． ∴． 又∵，∴． 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 函数的零点 重难点题型1 求函数的零点所在区间（二分法） 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 5．（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为 ． 重难点题型2 根据零点的区间，求参数范围 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东济宁·周测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为 . 重难点题型3 求函数零点的个数 1．（2025高二下·湖南郴州·月考）函数在定义域上的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）函数的图象与x轴的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·北京房山·期末）函数的零点个数是（     ） A． B． C． D． 4．函数 的零点的个数为 5．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）函数的零点个数为 . 6．（24-25高一上·云南昆明·月考）函数的零点个数为 7．（23-24高一上·上海·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，.则关于的方程在区间上解的个数为 . 重难点题型4 根据函数零点的个数，求参数范围 1．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数，若实数，则方程根个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二下·北京东城·期末）设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州遵义·周测）已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知函数至少有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建·期中）已知函数，若在R上有2个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围为 . 7．（24-25高二下·福建·期末）已知函数有唯一零点，则负实数 重难点题型5 “自我嵌套”函数的零点问题 1．（24-25高二下·福建·期末）已知函数，当时，关于的方程的实数解的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 4．（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则函数有 个零点． 6．（23-24高一上·福建福州·周测）函数，则函数的零点个数为 ． 7．（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数，则方程的根的个数是 个． 重难点题型6 “与二次函数嵌套”函数的零点问题 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（   ） A． B．8 C． D．12 2．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 6．（2025高三·全国·专题练习）（多选题）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ） A．方程有2个不相等实数根 B．函数在上单调递增 C．函数无最值 D．实数的取值范围为 7．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 8．（24-25高一下·湖南·期末）已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实根，则实数m的取值范围是 . 重难点题型7 等高线问题 1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁·开学考试）设函数且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）（多选题）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广西崇左·期末）（多选题）已知函数若（），则（   ） A． B．的值可能为25 C． D．的值可能为32 7．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知函数（i）方程的解集为 ；（ii）若函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为 . 8．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数,若，则 ；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是 重难点题型8 综合问题 1．（24-25高二下·浙江舟山·期末）记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义域为的奇函数；且，当时，，，则下列结论不正确的是（ ） A． B．函数的图象关于对称 C．的值域为 D．函数有9个零点 3．（2025·天津南开·模拟预测）设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高三下·广东东莞·月考）1.设函数满足下列条件：①若且则存在实数，使得；②方程至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解；③；④；⑤.则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $