22.3 实践与探索 课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，通过矩形试验田开辟小道问题导入，引导学生画图平移简化问题，类比一元一次方程步骤形成“审找列解答”学习支架，衔接面积、增长率等实际问题，强调根的实际意义检验。 其亮点是以真实情境驱动探究，用数学眼光抽象数量关系，如折叠长方体问题通过表格数据与图像探究侧面积最大值，体现模型意识与几何直观。总结明确应用要点，助力学生提升问题转化能力，教师可借助结构化案例高效开展教学。

22.3 实践与探索 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 学习目标 1.熟练掌握一元二次方程问题的模型（重点） 2.会类比以前方程的应用学习一元二次方程的应用（难点） 3.能将实际问题转化为数学问题并有运用模型思想的意识（重点） 新课导入 思考下面的问题 问题1:学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 20 32 x x 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 新课学习 分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无关．设小道宽为x m，则两条小道的面积分别为 32x m 2和20x m 2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，得 2×20－32x－20x＋x2＝540. x 20 x 32 新课学习 试一试：如果设想把小道平移到两边，如图所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？ 由题意可得：(20–x)(32–x)=540 32 x x 20 − x 32 − x 整理，得x2 −52x+100=0. 解得x1=2，x2=50. 当x= 50 时，32−x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取x=2. 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 新课学习 思考一下：根据上面的问题1，你可以得到什么结论？ 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 新课学习 拓展：一元二次方程要注意的问题 1.分析题意，抓住等量关系； 2.列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决； 3.求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答. 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 新课学习 问题2：某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 分析：若每次降价的百分率为x，则 第一次降价后：56(1–x)元 第二次降价后：56(1 – x) (1–x)元 新课学习 设每次降价的百分率为x，根据题意，得 56(1–x)2 = 31.5. 解这个方程，得 x1= 0.25，x2= 1.75. 因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75 不符合题意. 经检验，x=0.25=25%符合本题要求. 答：每次降价的百分率为 25% 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 新课学习 问题3：小明把一张边长为 10 cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图: （1）如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ 新课学习 设剪去的正方形的边长为x cm，根据题意，得 (10-2x)2=81 解得 x1=0.5，x2=9.5（不合题意，舍去） 答：剪去的正方形的边长为0.5cm （1）如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 新课学习 （2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？ 折叠成的长方体底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长（cm） 折叠成的长方体侧面积（cm2） 0.5 2.5 1 3 1.5 3.5 2 4 18 32 42 48 50 48 42 32 新课学习 探索一下：以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点.观察折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？ x O -4 -3 -2 -1 0.5 1 1.5 2 2.5 -5 y 18 22 26 30 34 (0.5,18) 3 3.5 4 38 42 46 50 由图象可知，当x=2.5,面积最大为50 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 新课学习 问题4：某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率为多少？ 分析：翻一番，即为原产值的 2 倍.若设原产值为 1 个单位，那么两年后的产值就是 2 个单位. 设平均年增长率为x. 则有 (1 + x)2 = 2 新课学习 探究一下：如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5 倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？ 设平均年增长率为x. 则有 (1 + x)2 = 1.5 当产值为原来的1.2时，有 (1 + x)2 = 1.5 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 新课学习 探究一下：又如果第二年的增长率为第一年的 2 倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后的产值翻一番？ 设第一年的增长率为x，则第二年为2x (1 + x) (1 + 2x) = 2 化简得 2x2+3x-1=0 根据求根公式，得 课堂巩固 A 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 课堂巩固 课堂巩固 A 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 课堂巩固 课堂巩固 B 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 课堂巩固 课堂巩固 C 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 课堂巩固 课堂巩固 B 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 课堂巩固 课堂巩固 掌握投影视图的关键在于理解如何分析，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主应用化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解工程问题时，通常会强调可视化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要智能化的技能。 课堂总结 1.一元二次方程要注意的问题 2.一元二次方程的应用 THANK YOU （舍去） （舍去） （舍去） （舍去） 1.如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是( ) A. B. C. 或 D. 解析：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面积， 依题意得： 解得： ， (不合题意，舍去)， ∴小路宽为 .故选A. 2.红星村种的水稻2021年平均每公顷产 ，2023年平均每公顷产 .求水稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.列方程为( ) A. B. C. D. 解析：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产 ， 则2023年平均每公顷产 ， 根据题意有： ， 故选：A. 3.2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期.为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，则平均每次降价的百分率为( ) A.9.5% B.10% C.10.5% D.11% 解析：设平均每次降价的百分率为x， 依题意得： ， 解得： ， (不合题意，舍去). 故选：B. 4.近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业.中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人.若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为( ). A. B. C. D. 解析：∵从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人，且2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ∴关于x的方程为： 故选：C. 5.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽.另有一竹竿，也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺，则可列方程为( ) A. B. C. D. 解析：若设门的对角线长为x尺，则门的高为 尺，宽为 尺， 根据题意得： ， 故选B. 解析：设每次降价的百分率为x， 依题意得： ， 解得： ， (舍去)， 答：每次降价的百分率为10%. 6.某单位要兴建一个活动区，某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. $