第五章 计数原理 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第五章　计数原理

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若=,则实数x的值为 (　　)

A.2    B.4    C.6                 D.2或6

2.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有              (　　)

A.10种   B.20种   C.25种   D.32种

3.欧拉公式eπi+1=0因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然对数的底数e,圆周率π,虚数单位i,自然数单位1,以及0)而被人们称为世间最美数学公式.由公式中数值组成集合A={e,π,i,1,0},甲、乙两人先后从集合A中取两个不同的元素,则甲、乙两人所取的两个元素中恰有一个相同的取法共有(　　)

A.60种   B.70种   C.100种  D.10种

4.某医药研究所研制了5种消炎药X1,X2,X3,X4,X5和4种退烧药T1,T2,T3,T4,现从中取出2种消炎药和1种退烧药同时进行疗效试验,X1,X2这2种消炎药必须同时搭配使用,但X3和T4这2种药不能同时使用,则不同的试验方案有              (　　)

A.11种   B.12种   C.13种   D.14种

5.在(-)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 (　　)

A.-28   B.28   C.-7   D.7

6.已知(-)5的展开式中含的项的系数为30,则a= (　　)

A.   B.-   C.6    D.-6

7.DNA是形成所有生物体中染色体的一种双螺旋结构分子,由称为碱基的化学成分组成,它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链,两条链上的碱基之间由氢键相

结合.在DNA中只有4种类型碱基,分别用A,C,G和T表示,DNA中的碱基能够以任意顺序出现.两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T,或者是C-G,不会出现其他的联系.因此,如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序,那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图1所示为一条DNA单链模型示意图,现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A,2个碱基C和1个碱基T,则不同的插入方式的种数为              (　　)

图1

A.20     B.40    C.60                 D.120

8.2022年北京冬奥会共有3个赛区,分别在北京、延庆、张家口.北京赛区承办所有的冰上项目,延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目,张家口赛区承办除雪车、雪橇、高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目.某电视台为了做好宣传,让更多的观众感受到冬奥会的气氛,组织了6支小队在这3个赛区进行拍摄,若每个赛区至少安排1支小队,则不同的分配方法有              (　　)

A.720种   B.540种　   C.450种                 D.360种

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.2名女生、4名男生排成一排,则2名女生不相邻的排法种数为 (　　)

A.    B.    C.-   D.

10.若(x2+)6的展开式中x3的系数是-160,则                                               (　　)

A.a=-       B.所有项系数之和为1

C.二项式系数之和为64   D.常数项为-320

11.设a,b,m∈Z,m>0,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对于模m同余,记为a≡b(mod m),已知a=1+×2+×22+×23+…+×220,a≡b(mod 10),则b的值可能是              (　　)

A.2 011    B.2 019    C.2 021                                                        D.2 029

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的种数为　　　　. 

13.在(1-x3)(2+x)6的展开式中,x5的系数是　　　　(用数字作答). 

14.已知(+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,若把其展开式中所有的项重新排列,则有理项互不相邻的概率为　　　　. 

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)某校高一年级有6个班,高二年级有7个班,高三年级有8个班,学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.

(1)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动,有多少种不同的选法?

(2)选2个班的学生参加社会实践活动,要求这2个班不同年级,有多少种不同的选法?