第三章 空间向量与立体几何 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第三章　空间向量与立体几何

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则线段AB的中点M到点C的距离为  (　　)

A.   B.    C.   D.

2.若向量a,b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b= (　　)

A.5    B.-5   C.7    D.-1

3.如图1所示,已知四面体OABC,M,N分别是棱OA,CB的中点,点G在线段MN上,且MG=3GN,则=                            (　　)

图1

A.++   B.++

C.++   D.++

4.若A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则||的取值范围是                 (　　)

A.[0,5]   B.[1,5]   C.(1,5)   D.[1,25]

5.点M在z轴上,它与经过坐标原点且方向向量为s=(1,-1,1)的直线l的距离为,则点M的坐标是                                                                                                                                                                                                    (　　)

A.(0,0,±2)  B.(0,0,±3)  C.(0,0,±)  D.(0,0,±1)

6.如图2,已知三棱锥A-BCD满 足DA⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=AD=2,E为AD中点,=2,则异面直线EB与FD所成角的余弦值为              (　　)

A.   B.   C.-   D.-

图2

7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BC的中点,P,Q是正方体内部或表面上的两个动点,则·的最大值是                                                                                                                              (　　)

A.    B.1    C.                 D.

8.如图3,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则 (　　)

图3

A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD

B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1

C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD

D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是 (　　)

A.直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,1,-),则l与m垂直

B.直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α

C.平面α,β的一个法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β

D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1

10.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1=1,点D是线段BC1上的动点(不含端点),则以下正确的是              (　　)

A.AC∥平面A1BD

B.CD与AC1不垂直

C.∠ADC的取值范围为(,]

D.AD+DC的最小值为

11.如图4(1)是一副直角三角板的示意图.现将两三角板拼成直二面角,连接AD,得到四面体ABCD,如图4(2)所示,则下列结论中正确的是              (　　)

图4

A.·=0

B.平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直

C.异面直线BC与AD所成的角为60°

D.直线DC与平面ABC所成的角为30°

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则λ=　　　　　. 

13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,过E,F,G三点作该正方体的截面,点M为底面ABCD内(含边界)一动点.若MD1与该截面平行,则直线MD1与CC1所成角的余弦值的最大值为　　　　.