第一章 直线与圆 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第一章　直线与圆 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线x+y-1=0的倾斜角θ为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知直线l1:2x+y-2=0,l2:ax+4y+1=0,若l1⊥l2,则a的值为 (　　) A.-2 B.2 C.- D.8 3.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-]∪[,+∞) B.(-∞,-]∪[,+∞) C.(-,) D.(-,) 4.已知圆C1:x2+y2-2x=0与圆C2:x2+y2-4y+3=0,则两圆的公切线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对的圆心角为 (　　) A. B. C. D. 6.过圆O:x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则△ABP的外接圆方程是 (　　) A.(x-4)2+(y-2)2=1 B.x2+(y-2)2=4 C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x-2)2+(y-1)2=5 7.阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是一部经典巨著,代表了希腊几何的最高水平,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.已知圆C的圆心C在直线y=2x-4上,半径为1,点A(0,3),若圆C上存在点M,使sin∠MOA=2sin∠MAO,则圆心C的横坐标a的取值范围是 (　　) A.1≤a≤2 B.0≤a≤ C.1≤a≤ D.0≤a≤ 8.已知P是函数f(x)=x2图象上的一点,过点P作圆x2+y2-4y+3=0的两条切线,切点分别为A,B,则·的最小值为 (　　) A.- B.2-3 C.0 D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.以下四个命题正确的有 (　　) A.直线x-y+a=0(a∈R)的倾斜角为60° B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+=0的距离都等于1 C.直线x-2y+3=0关于原点对称的直线方程为x+2y-3=0 D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 10.已知圆:x2+y2=4与圆M:x2+y2-2x+4y+4=0相交于A,B两点,直线l:3x+4y-10=0,点P在直线l上,点Q在圆M上,则下列说法正确的是 (　　) A.直线AB的方程为x-2y-4=0 B.线段AB的长为 C.|PQ|的最小值是2 D.从P点向圆M引切线,切线长的最小值是2 11.已知圆M:(x-1-cos θ)2+(y-2-sin θ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0,下列四个选项,其中正确的是 (　　) A.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点 B.存在实数k与θ,直线l和圆M相离 C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切 D.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若直线l1:ax-(a+1)y-1=0与直线l2:4x-6y+3=0平行,则直线l1与l2之间的距离为_____. 13.已知圆C:x2+y2=4上至少存在两点到直线x+y-b=0的距离为1,则实数b的取值范围是_____. 14.已知C(2,0),动点P在圆A:(x-)2+(y-3)2=1上,点M满足=,则|CP|的最小值为　　　　,|OM|的最大值是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知圆C:x2+y2-2x-2y+m=0. (1)若点P(-1,2)在圆C的外部,求实数m的取值范围; (2)若圆M:(x+2)2+(y+3)2=4与圆C相切,求实数m的值. 16.(15分)在△ABC中,点B(4,4),角A的平分线所在直线的方程为y=0,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+2=0. (1)求点C的坐标; (2)求△ABC的面积. 17.(15分)已知圆M:x2+(y-1)2=16外有一点A(4,-2),过点A作直线l. (1)当直线l与圆M相切时,求直线l的方程; (2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆M所截得的弦长. 18.(17分)①圆心C在直线2x-7y+8=0上,圆C过点B(1,5);②圆C过直线3x+5y-8=0和圆x2+y2+6y-16=0的交点.在①②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并进行求解. 已知圆C经过点A(6,0),且　　　　.  (1)求圆C的标准方程; (2)过点P(0,1)的直线l与圆C交于M,N两点. (i)求弦MN中点Q的轨迹方程; (ii)求证:·为定值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 19.(17分)如图1,已知定圆C:x2+(y-3)2=4,定直线m:x+3y+6=0,过A(-1,0)的一条动直线l与直线m相交于N,与圆C相交于P,Q两点,M是PQ的中点. (1)当l与m垂直时,求证:l过圆心C. (2)当|PQ|=2时,求直线l的方程. (3)设t=|AM|·|AN|,试问t是否为定值?若为定值,请求出t的值;若不为定值,请说明理由. 图1 第一章　直线与圆 1.C　直线x+y-1=0的斜率为-,则tan θ=-,又0°≤θ<180°,所以θ=120°.故选C. 2.A　由直线l1⊥l2得2×a+1×4=0,解得a=-2.故选A. 3.C　直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,∵kMA==-,kMB==,由图D 1可知,-a>-且-a<,∴a∈(-,),故选C. 图D 1 4.D　圆C1的方程可以化为(x-1)2+y2=1,圆C2的方程可以化为x2+(y-2)2=1,则两圆的圆心距为.又两圆的半径之和为2, >2,所以两圆外离,所以有4条公切线. 5.D　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线x+y+=0的距离d==1,所以弦长l=2=2,由余弦定理得劣弧所对圆心角α的余弦值为 cos α==-,又0<α<π,则圆心角α=.故选D. 6.D　方法一　由圆x2+y2=4,得到圆心O坐标为(0,0),连接OA,OB,∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆,又P(4,2),∴外接圆的直径为|OP|==2,半径为,外接圆的圆心为线段OP的中点(,),即(2,1),则△ABP的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5.故选D. 方法二　圆心O坐标为(0,0).连接OA,OB,则△ABP的外接圆即四边形OAPB的外接圆,且OP为外接圆的一条直径.故△ABP的外接圆方程为(x-0)(x-4)+(y-0)(y-2)=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.故选D. 7.D　在△MAO中,由sin∠MOA=2sin∠MAO,得MA=2MO,设M(x,y),则x2+(y-3)2=4(x2+y2),化简得到x2+(y+1)2=4,则圆心为E(0,-1),半径R=2,圆C与圆E要有交点,故2-1≤≤2+1,解得0≤a≤.故选D. 8.A　设圆x2+y2-4y+3=0即x2+(y-2)2=1的圆心为M,圆心坐标为(0,2),半径为1,如图D 2所示. 图D 2 因为cos∠APB=cos 2∠APM=1-2sin2∠APM=1-2()2=1-,所以·=|PA||PB|cos∠APB=|PA|2cos∠APB=(|PM|2-1)(1-), 所以·=|PM|2+-3.设P(m,m2),所以|PM|2=(m-0)2+(m2-2)2=m4-3m2+4=(m2-)2+≥,当且仅当m2=,即m=|±时取等号, 由对勾函数y=x+的单调性可知·=|PM|2+-3在[,+∞)上单调递增, 所以(·)min=+-3=-,故选A. 9.AB　直线x-y+a=0(a∈R)的方程可化为y=x+a,设倾斜角为θ,θ∈[0°,180°),则tan θ=,∴θ=60°,因此A正确. 圆x2+y2=4的半径r=2,圆心(0,0)到直线l的距离d==1=r,因此圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+=0的距离都等于1,因此B正确. 直线x-2y+3=0关于原点对称的直线的斜率必为,因此C不正确. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,因此D不正确.故选AB. 10.ACD　圆:x2+y2=4与圆M:x2+y2-2x+4y+4=0的方程相减得直线AB的方程为x-2y-4=0,故A正确; 圆:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,O到直线AB的距离d==,故|AB|=2=,故B错误; 圆M:x2+y2-2x+4y+4=0即为(x-1)2+(y+2)2=1,圆心M(1,-2),半径R=1,|PQ|的最小值为圆M的圆心M到直线l的距离t(t==3)减去半径R,故|PQ|min=t-1=3-1=2,故C正确; 从P点向圆M引切线,切线长的最小值为==2,故D正确.故选ACD. 11.AC　根据题意知圆M的圆心坐标为(1+cos θ,2+sin θ),半径为1,无论θ取何值,都有(1-1-cos θ)2+(2-2-sin θ)2=1,从而圆M过定点(1,2),因为直线l:kx-y-k+2=0,其方程可化为k(x-1)-y+2=0,所以直线l过定点(1,2),从而直线l和圆M有公共点,A正确. 圆M的圆心到直线l的距离d====|sin(β-θ)|≤1=r, (其中sin β=,cos β=,tan β=k)从而不存在实数k与θ,使直线l与圆M相离,所以B不正确. 因为对任意实数k,tan β=k,所以必存在实数θ=β-90°,使d=|sin(β-θ)|=1=r,即直线l与圆M相切,所以C正确. 对任意实数θ,不一定存在实数k,使得直线l与圆M相切,如θ=0°时,tan 90°不存在,所以D不正确.故选AC. 12.　由两直线平行得a×(-6)-4[-(a+1)]=0,解得a=2.当a=2时,l1:2x-3y-1=0,满足条件.将直线l1的方程化为4x-6y-2=0,则直线l1与l2之间的距离d==. 13.(-3,3)　由圆C:x2+y2=4,可得圆C的圆心C(0,0),半径为2, 若圆C:x2+y2=4上至少存在两点到直线x+y-b=0的距离等于1,则满足C到直线x+y-b=0的距离d<3, 所以<3,解得-3<b<3, 所以实数b的取值范围是(-3,3). 14.2-1　　圆A的圆心A(,3),半径r=1,则|CA|==2,所以|CP|的最小值为|CA|-r=2-1. 图D 3 如图D 3所示,取AC中点N,连接MN,因为||=1,=,所以||=, 可知点M的轨迹为以N为圆心,为半径的圆,当O,N,M三点共线时,|OM|取得最大值,所以N(,),|ON|==3, 所以|OM|的最大值为3+=. 15.(1)圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2-m, ∵点P(-1,2)在圆C的外部, ∴解得-3<m<2, ∴实数m的取值范围为(-3,2). (2)易知C(1,1),M(-2,-3),则|CM|==5,圆C的半径r1=,圆M的半径r2=2, 若圆C与圆M相外切,则5=+2,解得m=-7, 若圆C与圆M相内切,则5=-2,解得m=-47, 故当圆C与圆M相切时,实数m的值为-7或-47. 16.(1)由题意知BC所在直线的斜率为-2,又点B(4,4),所以直线BC的方程为y-4=-2(x-4),即2x+y-12=0. 解方程组得即点A的坐标为(-2,0). 又角A的平分线所在直线的方程为y=0,则点B(4,4)关于直线y=0的对称点B'(4,-4)在直线AC上,所以直线AC的方程为y=-(x+2),即2x+3y+4=0. 解方程组得 即点C的坐标为(10,-8). (2)由(1)知|BC|==6, 又直线BC的方程为2x+y-12=0, 则点A到直线BC的距离d==, 故△ABC的面积S=×|BC|×d=×6×=48. 17.(1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=4,满足题意. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2=k(x-4),即kx-y-4k-2=0,则圆M的圆心(0,1)到直线l的距离为=4,解得k=,此时直线l的方程为7x-24y-76=0. 所以直线l的方程为x=4或7x-24y-76=0. (2)当直线l的倾斜角为135°时,直线l的方程为y+2=-(x-4),即x+y-2=0. 圆心M(0,1)到直线l的距离d==, 所以直线l被圆M所截得的弦长为2=. 18.选条件①. (1)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意得解得 所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13. (2)(i)设Q(x,y),圆心C(3,2), 由题意可知,·=(x-3,y-2)·(x,y-1)=0, 得点Q的轨迹方程为x2+y2-3x-3y+2=0. (ii)当直线l的斜率不存在时, 直线l:x=0交圆C于M(0,4),N(0,0)两点, ·=-3; 当直线l的斜率存在时, 设直线l:y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2), 由 消元得(1+k2)x2-2(3+k)x-3=0, Δ=(6+2k)2-4×(-3)(1+k2)=16k2+24k+48>0, 则x1+x2=,x1x2=, ·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+kx1·kx2=(1+k2)x1x2=-3. 综上所述,·=-3. 所以·为定值,即得证. 选条件②. (1)因为圆C过直线3x+5y-8=0和圆x2+y2+6y-16=0的交点,所以设圆C的方程为x2+y2+6y-16+λ(3x+5y-8)=0, 因为圆C过点A(6,0),将点A的坐标代入方程,解得λ=-2, 所以圆C的方程是x2+y2-6x-4y=0,即(x-3)2+(y-2)2=13. (2)解析同选条件①(2). 19.(1)直线m的斜率km=-,由l与m垂直得直线l的斜率为3,所以直线l的方程为y=3(x+1). 因为当x=0时,y=3,故直线l过圆心C. (2)圆C的圆心为(0,3),半径r=2. 连接CM,由于|PQ|=2,M是PQ的中点,则|CM|==1. ①当直线l与x轴垂直时,易知l:x=-1,圆心C(0,3)到直线x=-1的距离为1,符合题意; ②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=a(x+1),即ax-y+a=0,由|CM|==1,解得a=,故直线l的方程为y=(x+1),即4x-3y+4=0. 综上,直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0. (3)①当l与x轴垂直时,易得M(-1,3),N(-1,-), 又A(-1,0),则|AM|=3,|AN|=,此时t=|AM|·|AN|=5. ②当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入圆的方程化简得(1+k2)x2+(2k2-6k)x+k2-6k+5=0,由Δ>0知,3k2+6k-5>0,x1+x2=. 设M(xM,yM),P(x1,y1),Q(x2,y2), 则xM==,yM=k(xM+1)=, 即M(,),则=(,). 又由得N(,), 则=(,). 由题图可知,t=|AM|·|AN|=-·=-[+]==5. 综上,t为定值5. 学科网（北京）股份有限公司 $