2025年广东省中学生夏令营数学测试（1）一试试题＋加试试题

2025.8.25 2025年广东省中学生数学夏令营数学测试1 一试试题 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=BC=2W2, AB=AC,若边PA,BC,AC上的动点X,Y,Z满足AX=BY，,YZ1∥AC,则三棱锥 A-YZ体积的最大值为 1 2.定义数列x,}:飞=，x2=,xa+2=51+七，（n∈N）,则不超 过咒1的最大整数为 台x- =。2,2+25=2,a6,cezZ,则s 3.集合S=xezx=a+b, 4.已知等边三角形ABC的边长为1，X1,X2,,X44依次为BC边上由B至C的44 个45等分点，则ABAX+AXAX++AXSAX4+AX4AC= 5L知点上，上在精图号背-1上按老时新方向依次排前，点K20.满 足∠X%=X,巧==∠乃Fs=∠X,则宽 台FY 6.已知有理数u=0zzxz.∈(0,1)，这里x,y,2∈{0,1,2,9}且可以相同，将u写 成最简分数的形式后，其分子有 种不同的取值。 2025 7.222x= 2024 =0x2=0x3=0x202s=0-1 8.已知正实数a6,c满足a+8奶2+9c2≤4abc,则 4a+2b2+c3 的最小 V6(36b-11V2c)-11a 值为」 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 9体小圆卧6分》R实a1,点000：过同r手 -=1右焦点 的直线交Γ于X,Y两点，若|OX2+OY|2<Y2恒成立，求的取值范围. 10.(本小题满分20分》给定整数n≥2025，已知数列x).s满足x∈行，且 41=sin死·x(k∈N)，试比较 一x红山与的大小并证明 1-xn 11.（本小题满分20分)已知x1,x2,x3,x4,x5∈C满足|x1=x2=1,|2x3-x1-x2|= 2x4-x-x2=|x1-x2,|2x-x3-x4=|x3-x4. (1)求x的最大值； (2)当|x取最大值时，是否存在2025组不同的复数(x,x2,x3,x4)使等号成立？ 2025年广东省中学生数学夏令营数学测试1 加试试题 一、（本题满分40分） 试求最大的实数九，满足对区间[0,1]中的任意2025个实数x,x2,x25,只要 x+x2+..+x2o25=九，均可将这2025个实数划分成不相交的两组S,T，并使得每组之和 公x,与工4均小于等于2， 二、（本题满分40分） 如图，O是△ABC的外心，D,E,F分别是内切圆与BC,CA,AB的切点.设M,N分 别是AB,AC的中点，M',W”分别是M,N关于DE,DF的对称点.设直线C"M,DE交于 点H,BW,DF交于点J.求证：H,J,O三点共线 E 0 父 N D M 三、（本题满分50分） 对于正整数k,给定一个由2025个小正方形方格组成的1×2025条形棋盘及一个装有 k枚硬币的盒子，已知每个小正方形方格恰可放一枚硬币.现AiC与Bob两人轮流进行如 下操作：每次AiCe先从盒子中和棋盘上取下不超过l9个硬币放在棋盘上未被占据的空小正 方形方格内，然后Bob再从棋盘上取下任意多个连续占据小正方形方格的硬币放回盒内.若 某一时刻Alice可将全部的k枚硬币均连续地放在条形棋盘上，则判Alice获胜.试求最大 的k,使得Alice有必胜策略. 四、（本题满分50分） 给定正实数c,对正整数i,j,定义区间S,y 则是否存在无穷多个正实 数x,满足对任意正整数i,j,xS？