河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一上学期开学测试数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一上期开学测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 4．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离.当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 5．，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（    ） A．2 B．－20 C．2或－20 D．2或20 7．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是有理数”，：“是实数” B．：“”，：“” C．：“”，： “” D．：“”，：“” 10．下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与不是同一个集合． 11．下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．“”是“”的 条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）． 13．已知集合，定义集合，则中有 个元素． 14．若，关于x的方程有两个相等的正实数根，则 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合； 16．（15分）解下列不等式. （1）. （2）. 17．（15分）已知集合及非空集合． (1)若，求a，b的值； (2)是否存在实数a，b，使得，若存在，求出a，b之间的关系，若不存在，说明理由． 18．（17分）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 19．（17分）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一上期开学测试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C C C B B B BD ABD BD 12．必要不充分 13．63 14．4 15．(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用列举法表示集合A. （2）（3）利用描述法表示给定的集合. 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：且. 16．（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接解不等式得到答案. （2）讨论，，三种情况，计算得到答案. 【详解】（1）等价于，等价于，即，即，且， 解得或， ∴不等式的解集为. （2）由题意， 在中， 当时，， ∴，解得， 当时，， ∴，解得， 当时，， ∴ ，解得， 综上，. 17．(1) (2)存在，，时满足题意；，时满足题意；，满足题意 【分析】（1）由，且C为非空集合可得只有一个根为，列方程组即可求得答案； （2）由于，所以且，分和两种情况进行讨论即可求得答案. 【详解】（1）因为，且C为非空集合，所以， 即，则只有一个根为， 所以，解得； （2）由题意得， 由于，所以且， 1）当时，，所以只需要满足集合C非空且即可， 则满足且的值不等于0，即； 2）当时，，若，则， 此时只需要满足集合C只有一个根为1或一个根为1，另一个根不为-3， 将代入得，即满足题意； 若，则， 此时只需要满足集合C只有一个根为或一个根为，另一个根不为1， 将代入得， 令，解得或， 即满足题意； 综上：，时满足题意；，时满足题意；，满足题意. 18．(1)， (2)，，，，， (3)能， 【分析】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可； （2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可； （3）由题设可得，进而分和讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 所以，． （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 19．(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【详解】（1）集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. （2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而                      下证： 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $