6.2.3 向量的数乘运算 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算

【课标要求】　1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义．

【导学】

学习目标一　向量的数乘运算

　师问：如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？

生答：

例1 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(　　)

A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反

B．当λ＝0时，λa与a是共线向量

C．|λa|＝λ|a|

D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同

总结：λ的正负决定向量λ≠的方向，的模．

跟踪训练1　设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)

A．a与λa的方向相反    B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a|    D．|－λa|>|λ||a|

学习目标二　向量的线性运算

　师问：类比实数的乘法运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？

生答：

例2 (1)化简：[(3a－2b)＋5a－(6a－9b)].

(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.

总结：(1)向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项，合并同类项等变形手段．

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，

同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

跟踪训练2　(1)(2a＋8b)－(4a－2b)＝(　　)

A．－3a－6b    B．6b－3a

C．2b－3a　    D．3a－2b

(2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________(用a，b表示)．

学习目标三　用已知向量表示其他向量

例3 如图所示，平行四边形AOBD中，设向量＝b，又，用a，b表示.

用已知向量表示其他向量的两种方法

跟踪训练3　梯形ABCD中，，设＝n，则＝(　　)

A．－＋2n    B．－2n

C．m－2n    D．－m＋2n

学习目标四　向量共线定理

　师问：(1)若向量a，b是共线向量且a≠0，是否存在一个实数λ，使得b＝λa?

(2)若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且，那么x与y有什么关系？

生答：

例4 已知非零向量e1，e2不共线．

(1)如果＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.

【一题多变】　本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

 

总结：(1)证明或判断三点共线的方法

一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得(或等)即可．

(2)利用向量共线求参数的方法

已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解．

跟踪训练4　(1)已知a，b为不共线的非零向量，＝3a－3b，则(　　)

A．A，B，C三点共线    　B．A，B，D三点共线

C．B，C，D三点共线    　D．A，C，D三点共线

(2)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)平行，则λ＝________．

【导练】

1．10(a＋b)－(a－b)＝(　　)

A．9a＋9b    B．9a＋11b

C．11a＋9b    D．11a＋11b

2．在▱ABCD中，2a，＝3b，则＝(　　)

A．a＋b　　B．a－b    C．2a＋3b　　D．2a－3b

3．如图所示，已知在△ABC中，D是△ABC的边AB的中点，则＝(　　)

A.

B．