专题1.8 空间向量与立体几何专项复习讲义（2大考点6种题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.8 空间向量与立体几何专项复习 【考点1：空间向量及其运算】 1 【题型一：空间向量的线性运算】 2 【题型二：空间向量的数量积运算】 6 【题型三：空间向量的坐标运算】 8 【考点2：空间向量的应用】 11 【题型四：利用空间向量研究空间中的位置关系】 11 【题型五：利用空间向量求空间中的角度】 14 【题型六：利用空间向量求空间中的距离】 21 【课时达标检测】 25 【考点1：空间向量及其运算】 (1)空间向量的有关概念 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (2)空间向量中的有关定理 共线向量 定理 对空间任意两个向量，⇔存在唯一一个，使 共面向量 定理 若两个向量不共线，则向量与向量共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 空间向量 基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得 2.两个向量的数量积 (1)非零向量的数量积． (2) 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设. 向量表示 坐标表示 数量积 共线 垂直 模 夹角 [方法技巧1] 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　 [方法技巧2]　 　　空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用⇔，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 【题型一：空间向量的线性运算】 1．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·四川成都·开学考试）在直三棱柱中，.若点满足，且点在平面内，则（    ） A． B． C． D．1 4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 5．（25-26高二上·全国·课前预习）在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    6．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 7．（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 8．（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【题型二：空间向量的数量积运算】 1．（25-26高二上·福建泉州·开学考试）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（多选）（25-26高三上·浙江温州·开学考试）已知空间向量两两的夹角均为，且.若向量满足，，则的可能值是（    ） A． B．6 C． D． 5．（多选）（2025高二·全国·专题练习）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 6．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高三上·安徽·开学考试）在平行六面体中，各棱长均为2，．则下列命题中正确的是（   ） A．不是空间的一个基底 B． C． D．四边形的面积为2 8．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【题型三：空间向量的坐标运算】 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 3．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 4．（25-26高二上·山东德州·开学考试）已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 5．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求在方向上的投影向量. 6．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 8．（2025高二·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系． (1)写出点，的坐标； (2)写出点在轴和平面上的投影点的坐标； (3)写出向量的坐标并求点到点的距离． 【考点2：空间向量的应用】 【题型四：利用空间向量研究空间中的位置关系】 1．两个重要向量 直线的 方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个 平面的 法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为 l1∥l2 ⇔ l1⊥l2 ⇔ 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 l∥α ⇔ l⊥α ⇔ 平面α，β的法向量分别为 α∥β ⇔ α⊥β ⇔ [方法技巧1] 1．利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 [提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外． [方法技巧2] 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路 (1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示． (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．　　 1．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 3．（多选）（25-26高三上·云南昆明·开学考试）在正三棱柱中，D为中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 4．（多选）（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（   ） A． B．正三棱柱的体积为 C．若，则 D．直线与是异面直线 5．（25-26高二上·全国·课前预习）在正方体中，点在上，且，用向量法证明：平面. 6．（25-26高二上·全国·课后作业）吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个探究题，如图1，点分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接后就得到一个“刍甍”，如图2所示．若是四边形对角线的交点，试用向量方法证明：平面． 7．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别是上的点，且． (1)证明： (2)已知四点共面，求的长． 8．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【题型五：利用空间向量求空间中的角度】 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线的方向向量为，其夹角为θ，则 (其中φ为异面直线所成的角)． 2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α ­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图②和图③，分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小或． [方法技巧1] 向量法求两异面直线所成角的步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量； (3)代入公式求解． [提醒]　两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．　　 [易错提醒] (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．　　 [方法技巧2]　　　计算二面角大小的常用方法 法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）正四面体中，，求直线与夹角的余弦值. 2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．（2025·河北·一模）如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面.    (1)证明:四边形为菱形; (2)若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值. 4．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： (1)的长； (2)直线和所成角的余弦值. 5．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足． (1)证明：平面； (2)若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值． 6．（25-26高三上·北京·开学考试）已知四棱锥，，，，于点E，． (1)若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点． (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 7．（黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（一））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），. (1)求证：平面平面； (2)若二面角大小为30°，求的值. 8．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求证：； (2)棱上存在一点，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值． 【题型六：利用空间向量求空间中的距离】 1、点到直线的距离：若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为. 2、点到面的距离：已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面的距离：转化为点到面的距离求解即可. 1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 6．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 7．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 8．（25-26高三下·北京·阶段练习）如图，在多面体中，.侧面为矩形，平面，平面， (1)求证： (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求直线到平面的距离. 【课时达标检测】 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二·全国·课后作业）下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课后作业）已知向量，则下列向量中与成夹角的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在正方体中，直线与平面所成的角的余弦值是(    ) A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河北廊坊·开学考试）已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二·全国·课后作业）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·浙江温州·期末）已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）下列命题中，不正确的命题有（    ） A．是共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若A，B，C不共线，且，则P，A，B、C四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 10．（24-25高二上·山西朔州·期末）在空间直角坐标系中，、、，则（    ） A． B．异面直线与所成的角为 C．点关于轴的对称点为 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（2025·河北唐山·一模）在棱长为4的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面相交 D．点到平面的距离为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 13．（2025·河南·三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 14．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是.则与所成角的余弦值为 .    四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二下·四川绵阳·开学考试）已知向量，， (1)求的值； (2)求； 16．（25-26高二上·全国·单元测试）如图所示，平行六面体中，，，，用表示如下向量： (1)，，； (2)（分别是和的中点）． 17．（2025·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 18．（25-26高二上·湖北·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.8 空间向量与立体几何专项复习 【考点1：空间向量及其运算】 1 【题型一：空间向量的线性运算】 2 【题型二：空间向量的数量积运算】 9 【题型三：空间向量的坐标运算】 17 【考点2：空间向量的应用】 23 【题型四：利用空间向量研究空间中的位置关系】 23 【题型五：利用空间向量求空间中的角度】 34 【题型六：利用空间向量求空间中的距离】 48 【课时达标检测】 59 【考点1：空间向量及其运算】 (1)空间向量的有关概念 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (2)空间向量中的有关定理 共线向量 定理 对空间任意两个向量，⇔存在唯一一个，使 共面向量 定理 若两个向量不共线，则向量与向量共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 空间向量 基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得 2.两个向量的数量积 (1)非零向量的数量积． (2) 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设. 向量表示 坐标表示 数量积 共线 垂直 模 夹角 [方法技巧1] 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　 [方法技巧2]　 　　空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用⇔，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 【题型一：空间向量的线性运算】 1．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误. 【详解】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 3．（25-26高三上·四川成都·开学考试）在直三棱柱中，.若点满足，且点在平面内，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的性质列式求解. 【详解】，且点在平面内， . 故选：B.    4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 5．（25-26高二上·全国·课前预习）在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，，.先证明，再证明，即可证明. 【详解】取中点，连接，，，如图所示. 因为点是中点，所以. 因为点为的中点，所以， 因为， 所以， 因为，点是中点，所以G为HD的中点. 又点为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以，，，四点共面.    6．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）， 向量如图所示. （2）； 向量如图所示. （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示. 7．（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：利用回路法,通过两个不同“路径”表示，再利用相反向量的性质即可得证； 方法二：由，利用平面向量中的定比分点公式结合向量的减法即可得证. （2）同理（1）得，，然后结合空间向量的共面定理证明四点共面 【详解】（1）证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. （2）由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点， 所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 8．（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可化简； （2）证明出，即可证得结论成立； （3）分析可知为的中点，可得出，推导出，，结合空间向量的线性运算可证得结论成立. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 所以． （2），同理得， 所以，所以四边形是平行四边形． （3）因为四边形是平行四边形，、交于点，则为的中点， 因为、分别为、的中点， 所以，． 由，可得． 【题型二：空间向量的数量积运算】 1．（25-26高二上·福建泉州·开学考试）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确， 故选：D. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算可得，结合八面体的特性计算数量积即可. 【详解】由正八面体的性质可得，，则， ． 故选：D. 4．（多选）（25-26高三上·浙江温州·开学考试）已知空间向量两两的夹角均为，且.若向量满足，，则的可能值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】AD 【分析】取三棱锥，，利用余弦定理求出各边长，令，利用向量运算法则得到，根据题目条件得到⊥，⊥，可得点D、E在空间中的轨迹为两个球，利用球心距离与半径关系得到两个球有公共点，则可求得最大值与最小值，得到答案. 【详解】取三棱锥，， 且，，， 所以，， 如图，令， 因为，， 又， 所以，，即， 所以⊥，⊥， 分别取的中点，则，，， 则点D、E在空间中的轨迹分别为以M、N为球心，半径为1、的球面， 由于，所以两球有公共点，最小值为， 当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值， 最大值为， 选出在范围之间的即可. 故选：AD. 5．（多选）（2025高二·全国·专题练习）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【分析】设的中点为，连接，由，可得点在以为球心，以1为半径的球面上．又设，由题可得，据此可得答案. 【详解】设的中点为，连接，则，则， 即点在以为球心，以1为半径的球面上． 如图，因为，所以． 因为正四面体的棱长为，所以，，又， 所以．设， 则． 因为，所以． 故选：BC 6．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 7．（多选）（25-26高三上·安徽·开学考试）在平行六面体中，各棱长均为2，．则下列命题中正确的是（   ） A．不是空间的一个基底 B． C． D．四边形的面积为2 【答案】AC 【分析】由基底定义可判断A；由结合向量数量积运算率计算可判断B；由线面垂直判断定理可得平面，由线面垂直性质及可得，可判断C；由线面垂直性质可得，进而可得四边形是正方形，计算可判断D. 【详解】对于A，由，所以向量，，共面， 所以不是空间的一个基底，故A正确； 对于B， ， 所以，故B错误； 对于C，连接交于点，连接，，，如图所示： 由题意可得四边形为菱形，， 所以，， 由且平面，可得平面， 由于，平面，所以，故C正确． 对于D，因为平面，平面，所以， 又，所以，所以四边形是正方形， 又因为边长为2，故四边形的面积为4，故D错误． 故选：AC． 8．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）14；（ⅱ） 【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【详解】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ）． （ⅱ）因为， 所以，所以． 【题型三：空间向量的坐标运算】 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 2．（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 3．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由求得，再由得到动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因，则的最小值为到球心B的最小距离减去半径1，计算，利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系,    则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·山东德州·开学考试）已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量的坐标运算直接求解； （2）分别求出，的坐标，由平行可得，再由向量相等的条件求解即可. 【详解】（1）由，得． （2）由（1）知， 所以，， 又，则， 即， 所以， 则． 5．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求在方向上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解，得到答案； （2）利用求解即可. 【详解】（1）已知向量 则， ， 所以 （2）由（1）知则，， 所以在方向上的投影向量为 . 6．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直． 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，，则，，，； （2）， ， ． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【详解】（1）由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． （3）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 8．（2025高二·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系． (1)写出点，的坐标； (2)写出点在轴和平面上的投影点的坐标； (3)写出向量的坐标并求点到点的距离． 【答案】(1)，． (2)， (3)，． 【分析】（1）根据所建坐标系直接表示出所求点坐标即可； （2）由点在轴和平面上的投影点分别为和即可求解； （3）根据空间向量的表示及模的公式求解即可. 【详解】（1）由题可得：，． （2）点在轴上的投影点为，在平面上的投影点为． （3），点到点的距离为. 【考点2：空间向量的应用】 【题型四：利用空间向量研究空间中的位置关系】 1．两个重要向量 直线的 方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个 平面的 法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为 l1∥l2 ⇔ l1⊥l2 ⇔ 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 l∥α ⇔ l⊥α ⇔ 平面α，β的法向量分别为 α∥β ⇔ α⊥β ⇔ [方法技巧1] 1．利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 [提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外． [方法技巧2] 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路 (1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示． (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．　　 1．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 2．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 【答案】C 【分析】由题意为直线与所成的角，即可判断A；举反例判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求证线线垂直和线面平行判断B、D. 【详解】对于A：由正方体性质可知：为直线与所成的角， ，故直线与所成的角为，故A正确； 对于B：如图，设正方体的棱长为1， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因,则，则， 所以，而， 因为，所以，即，故B正确； 对于C：当时，点即点，点即点，此时满足，显然与为异面直线，故与为异面直线，即四点不共面，故C错误； 对于D：由正方体的性质知平面，所以为平面的一个法向量． 由选项B的证明可知：，又平面，所以平面，故D正确. 故选：C 3．（多选）（25-26高三上·云南昆明·开学考试）在正三棱柱中，D为中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面，    又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 又，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 对于D，因为在正三棱柱中，， 又平面平面，所以平面，故D正确. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为，    则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于B、D，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故B、D正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误. 故选：BD. 4．（多选）（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（   ） A． B．正三棱柱的体积为 C．若，则 D．直线与是异面直线 【答案】ACD 【分析】由正三棱柱的性质可判断A；由棱柱的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系利用可判断C；设，计算出可判断D . 【详解】因为平面，平面，所以，故A正确； 正三棱柱的体积，故B错误； 取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，为中点，所以，设， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，若， 即，所以，故C正确； ，设， 即， 解得，与矛盾，所以不是共面向量， 即与是异面直线，故D正确. 故选：ACD 5．（25-26高二上·全国·课前预习）在正方体中，点在上，且，用向量法证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据证明线面平行的向量法即可求解. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则由题可得，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，所以. 又平面，则平面. 6．（25-26高二上·全国·课后作业）吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个探究题，如图1，点分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接后就得到一个“刍甍”，如图2所示．若是四边形对角线的交点，试用向量方法证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】求解翻折问题只需要会抓住不变量，由题图1知，，，，折起后在题图2中仍有，，，建立适当的空间直角坐标系，方法一：设线段中点，只需证明；方法二：设平面的法向量为，只需证明即可. 【详解】方法一：因为,，且平面，所以平面． 以为原点，的方向分别为轴和轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， 点在平面上， 则，，．取线段中点，连接，则，． 所以，，所以，由于平面，平面，所以平面． 方法二：由上述方法知，，，，， 则，，设平面的法向量为，则 ，即， 于是，，不妨取法向量． 因为，所以， 又平面，所以平面． 7．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别是上的点，且． (1)证明： (2)已知四点共面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接与，根据题意，分别证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，求得平面的一个法向量，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）证明：连接与，因为底面是正方形，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）解：以为坐标原点，以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，所以， 又因为，则知分别是和上的三分点， 可得， 设，则， 设平面的法向量，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以，即，解得， 所以的长为. 8．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 【题型五：利用空间向量求空间中的角度】 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线的方向向量为，其夹角为θ，则 (其中φ为异面直线所成的角)． 2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α ­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图②和图③，分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小或． [方法技巧1] 向量法求两异面直线所成角的步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量； (3)代入公式求解． [提醒]　两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．　　 [易错提醒] (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．　　 [方法技巧2]　　　计算二面角大小的常用方法 法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）正四面体中，，求直线与夹角的余弦值. 【答案】 【分析】根据对角线向量定理和向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】对角线向量定理， 设正四面体棱长为3，则， 设直线与夹角为， 则.    2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解. (2). 【分析】（1）取中点，由线面垂直证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，然后得到点坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而得到线面垂直； （2）由空间直角坐标系得到点坐标，由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得线面角的正弦值. 【详解】（1）如图，取中点，连接，， 在正三角形中，， ∵平面平面，平面平面， ∴平面，且平面， ∴， 在梯形中，，∴四边形为平行四边形， ∴，又∵，∴， 又，平面，平面， ∴平面，平面， ∴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ∵，， ∴且，且，平面，平面， ∴平面. （2）由（1）可知， ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 直线与平面所成角， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2025·河北·一模）如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面.    (1)证明:四边形为菱形; (2)若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线线垂直，进而证明平面，得出对角线垂直，进一步可得结论； （2）建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案. 【详解】（1）设，连接，过向作垂线，垂足为， 因为平面⊥平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以， 因为,平面，所以平面，所以， 因为为平行四边形，所以为菱形.    （2）因为，结合（1）可知底面为正方形， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则; ,; 设平面的一个法向量为，则， 令得，. 设平面的一个法向量为，则， 令得，. 设平面与平面的夹角为，则， 所以，即平面与平面的夹角的正弦值为.    4．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： (1)的长； (2)直线和所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设，，，得出，利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）如图，连接，设，，， 依题意， 而， ， 所以. （2）连接，， 所以 ， 又，， 所以， 故直线和所成角的余弦值为. 5．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足． (1)证明：平面； (2)若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，连接，通过为平行四边形，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 由中位线可得：， 又，由， 所以， 所以， 即四边形为平行四边形， 所以， 又不在平面内，在平面内， 所以平面； （2）因为平面，都在平面内， 又， 所以可得：两两垂直，如图建系： 则， ， 设平面的法向量为， 则， 设，可得， 所以， 设直线BC与平面所成角为， ， 即直线BC与平面所成角的正弦值为. 6．（25-26高三上·北京·开学考试）已知四棱锥，，，，于点E，． (1)若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点． (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）过点作，交于,证四边形是平行四边形即可； （2）平面，，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）过点作，交于,连接， 因为，所以，所以四点共面， 因为平面，平面，平面∩平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，所以分别是的中点， 即是中点得证. （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 如图， 则， ，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为，则 ， 即直线与平面所成角的正弦值是. 7．（黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（一））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），. (1)求证：平面平面； (2)若二面角大小为30°，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得线面垂直，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用面面角的余弦公式建立方程，解得即可得解. 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，即， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面； （2）∵，为的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，， ∴，，，， 设，， ∴，又， 设平面的法向量为，则， 令，得， 又平面的一个法向量为， ∵二面角为30°， ∴， 即，解得或（舍去）， 即，∴. 8．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求证：； (2)棱上存在一点，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，在图2中，根据正方形的性质结合线面垂直的判定定理得到平面，进而得到； （2）以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，平面的一个法向量为，根据求得，求得平面的法向量为，求得进而可得. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以． （2）因为是直二面角，且是二面角的平面角， 所以， 又， 故分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图 由题意，、、、． 则，，， 设，则， 则， 平面的一个法向量为， 由题意，得. 所以，解得. 此时，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则. ∴， 则， ∴， 所以二面角的正弦值为． 【题型六：利用空间向量求空间中的距离】 1、点到直线的距离：若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为. 2、点到面的距离：已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面的距离：转化为点到面的距离求解即可. 1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 2．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案 【详解】    如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 3．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 4．（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设关于平面的对称点为， 则， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 6．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线面垂直，进而证明侧棱垂直于底面，结合底面形状可证结论； （2）建立坐标系，利用平面与平面夹角求出高，结合点面距的向量公式可求答案. 【详解】（1）证明：作于，因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面，即侧棱垂直于底面， 因为底面是正三角形，所以三棱柱为正三棱柱. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则； ， 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 因为平面与平面夹角的余弦值为，所以， 解得，即. ，设点到平面的距离为，则. 7．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离即可. 【详解】（1）（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； （3）因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 8．（25-26高三下·北京·阶段练习）如图，在多面体中，.侧面为矩形，平面，平面， (1)求证： (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）先由线线垂直的判定定理证明平面，进而证明； （2）建系，利用空间向量计算线面角的正弦值即可； （3）将线面距转化为点面距，利用空间向量计算即可. 【详解】（1）证明：为矩形, , 平面，平面， ， 又平面，平面，， 平面，又平面 ； （2）如图所示，以为原点，分别为轴、轴、轴建系. 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 得，取，则， 即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值； （3）因为为矩形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离即为点到平面的距离 . 【课时达标检测】 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二·全国·课后作业）下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面， 所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底； 对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误； 同理选项D中，共面，故D错误. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用两平面垂直，其法向量数量积为零列方程求解即可. 【详解】因为平面、的法向量分别为、且， 所以，即， 则， 故选：A. 3．（25-26高二·全国·课后作业）已知向量，则下列向量中与成夹角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可. 【详解】A：因为向量与向量夹角的余弦值为， 所以向量与向量夹角为，故不符合题意； B：因为向量与向量夹角的余弦值为， 所以向量与向量夹角为，故符合题意； C：因为向量与向量夹角的余弦值为， 所以向量与向量夹角为，故不符合题意； D：因为向量与向量夹角的余弦值为 ，所以向量与向量夹角为，故不符合题意， 故选：B 4．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在正方体中，直线与平面所成的角的余弦值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别以､､为､､轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，利用向量法求直线与平面所成的角的余弦值. 【详解】∵分别是正方体，故以､､为､､轴建立空间直角坐标系： 设正方体的棱长等于， 则， 则， 设是平面的一个法向量，则， 取，得， 设直线与平面所成角为， 则 ， 即直线与平面所成角的余弦值是. 故选：B. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可. 【详解】解：由题意可得： . 故选：A. 6．（25-26高二下·河北廊坊·开学考试）已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，换元后求出的最大值. 【详解】以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，， 设，则， 所以． 令，则，因为，所以． 当时，； 当时，， 因为，所以当，即时，取得最大值，最大值为． 故选：B 7．（25-26高二·全国·课后作业）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解. 【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有， 因此，，， 于是得， 则当时，，此时，点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：C 8．（24-25高三上·浙江温州·期末）已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】令，，，令，，问题等价于求的最小值，讨论在平面内，在平面内，在平面内三种情况，分别计算得到的答案. 【详解】令，，， 原式等价于， 令，， 因为，，所以在平面内，即（平面）. 在，，平面内的任意一点， 所以问题等价于求的最小值，显然点取在各平面内的投影时最小. 往下可分三种情况求解： ①当在平面内时，作的垂面，作，为投影在上投影，易得：作的平面图，， 此时，，，所以， 所以，所以当在点时最小为. 同理：②当在平面内时，在上，可得平面图： 此时：，，， 所以， 同理③当在平面内时，，，， 当时，最小. 所以，， . 综上：最小为. 故选：. 【点睛】本题考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，空间想象能力. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）下列命题中，不正确的命题有（    ） A．是共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若A，B，C不共线，且，则P，A，B、C四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】AB 【分析】利用向量的模相等关系，结合充要条件判断A的正误；利用平面向量的基本定理判断B；利用共线向量定理判断；利用空间向量的基底的概念和反证法判断D的正误即可． 【详解】对于A，当时，，共线成立，但当，同向共线时，， 所以是，共线的充分不必要条件，故A不正确; 对于B，当时，，不存在唯一的实数，使得，故B不正确; 对于C，由于，而，根据共面向量定理知，，，，四点共面，故C正确; 对于D，若，，为空间的一个基底，则，，不共面，利用反证法证明，，不共面，假设，，共面，则,所以，所以，，共面，与已知矛盾.所以，，不共面，则，，构成空间的另一个基底，故D正确． 故选：AB 10．（24-25高二上·山西朔州·期末）在空间直角坐标系中，、、，则（    ） A． B．异面直线与所成的角为 C．点关于轴的对称点为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用空间向量法可判断BD选项；利用空间中点的对称性可判断C选项. 【详解】因为在空间直角坐标系中，、、， 对于A选项，，，所以，，A对； 对于B选项，设异面直线与所成的角为，则， ，故， 所以，异面直线与所成的角为，B错； 对于C选项，点关于轴的对称点为，C对； 对于D选项，易知平面的一个法向量为， 所以，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为，D对. 故选：ACD. 11．（2025·河北唐山·一模）在棱长为4的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面相交 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间垂直向量的坐标表示判断A；利用线面平行的向量法判断B；利用面面平行的向量法判断C；利用向量法求出点到平面的距离公式判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， ， A：，有， 则DF与不垂直，故A错误； B：，， 设平面DEF的法向量为， 则，令，得， 所以，得，所以平面DEF，故B正确； C：，由B选项可知平面DEF的法向量， 设平面的法向量分别为， ，令，得， 所以，得不成立，所以平面与平面DEF相交，故C正确； D：由，平面DEF的法向量， 则点B到平面DEF的距离为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量法计算法向量及方向向量垂直得出线面平行即可. 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 13．（2025·河南·三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求线面角的公式即可求出. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 直线与平面所成角为， ， 故答案为：. 14．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是.则与所成角的余弦值为 .    【答案】/ 【分析】设，根据空间向量的运算表示出，进而求出它们的模以及数量积，根据空间向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】设，则， 因为以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是， 故， 故 ， ， ， 故， 与为异面直线，所成角范围为大于小于等于， 故与所成角的余弦值为， 故答案为： 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二下·四川绵阳·开学考试）已知向量，， (1)求的值； (2)求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解； （2）由夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又因为， 所以． （2）因为，， 所以． 16．（25-26高二上·全国·单元测试）如图所示，平行六面体中，，，，用表示如下向量： (1)，，； (2)（分别是和的中点）． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）（2）根据向量线性运算直接求解即可. 【详解】（1）； ； . （2）分别为和的中点，. 17．（2025·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 18．（25-26高二上·湖北·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面BEQF⊥平面PAD. 【分析】对于（1），取AB中点为H，先由条件证得PH⊥平面ABCD，后可得答案. 对于（2），由（1）分析可知AB⊥AC，建立以A为原点的空间直角坐标系，找到平面BEQF，平面PAD法向量，后可得答案. 【详解】（1）证明：取棱AB长的一半为单位长度. 则在中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，根据余弦定理， 得 得，故AB⊥AC. 又PB⊥AC，PB∩AB=B，平面PAB，AB平面PAB，故AC⊥平面PAB. 又平面ABCD，AC⊥平面PAB，则平面ABCD⊥平面PAB. 取AB中点H，连接PH，CH. 因是等边三角形，则PH⊥AB，又PH 平面PAB， 平面ABCD 平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD. 得∠PCH是CP与平面ABCD所成的角. 在直角三角形中，， ，. 故，即为所求. （2）假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD. 如图，以A为原点，分别以为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz， 则， ， 设是平面PAD的法向量，则 ，取. 设，其中. 则 连接EF，因AC∥平面BEQF，，平面PAC∩平面BEQF=EF， 故AC∥EF，则取与同向的单位向量. 设是平面BEQF的法向量， 则， 取. 由平面BEQF⊥平面PAD，知，有，解得. 故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面BEQF⊥平面PAD. 【点睛】关键点点睛：本题涉及线面角，及立体几何中的动点问题.对于（1），关键能在各种线面关系中做出相应线面角的平面角.对于（2），求动平面的法向量时，可利用线面平行关系找到动平面内向量的共线向量. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点在靠近的三等分点处 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. 【详解】（1）过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. （2）因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． （3）设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得（舍去）或， 故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得（舍）或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $