4.2 指数函数 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图像及性质，通过旅游人次增长和碳14衰减的实际情境导入，复习根式与指数运算性质，衔接函数研究方法，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实情境驱动概念生成，对比A、B景区人次变化抽象指数函数特征，培养数学抽象和建模能力。结合图像探究、分层练习和实际应用案例，帮助学生用数学思维分析问题，用数学语言表达规律。学生能提升应用意识，教师可直接使用结构化教学流程和丰富实例，提高教学效率。

4.2 指数函数 必修第一册 第四章《指数函数与对数函数》 4.2.1 指数函数的概念 必修第一册 第四章《指数函数与对数函数》 一 二 三 学习目标 通过了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系 理解指数函数的的概念和意义 掌握指数函数的解析式 学习目标 复习回顾 1. 根式与分数指数幂 (1)= 2. 实数指数的运算性质 (2) （其中a>0，m，n∈N*，且n>1） 上一章我们学习了函数的概念与基本性质，通过对幂函数的研究，进一步理解了研究一类函数的过程与方法。 新课导入 下面，我们继续研究其它类型的初等函数： 对于幂,我们已经将指数的范围拓展到了实数。 指数函数 图像、三要素、单调性、最值、奇偶性、对称性 新知探究 情景1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票． A景区 B景区 年份 人次 增加量 人次 增加量 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1224 126 右表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 问题1 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？ 新知探究 我们先对A景区的数据进行分析 你能发现有什么规律？ 1.表格中，数据的增长量基本相同，为10(左右) 2.图像中，连线近似于一条直线附近 角度1：可以通过年增加量的数据看变化趋势. 角度2：为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来. A景区 人次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 B景区的增加量不稳定，越来越大！ 新知探究 我们再对B景区的数据进行分析 问 我们能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？ 增加量=变后量-变前量 我们采用增长率来进行探究。 新知探究 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率. 增加量和增长率是刻画事物变化规律的两个重要的量 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数． 1年后，游客人次是2001年的___________倍； 2年后，游客人次是2001年的___________倍； 3年后，游客人次是2001年的___________倍； …… x年后，游客人次是2001年的___________倍． 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1.111 1.112 1.113 1.11x 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍， 那么y＝_______________________ 1.11x （x∈[０，＋∞））． ① 新知探究 这是一个函数，其中指数x是自变量． 新知探究 情景2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 死亡年数 1年 2年 3年 ······ 5730年 年 碳14含量 将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格. ······ 若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式是： 新知探究 追问：你能求出的值吗？ 我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半， ∴, （x∈[０，＋∞）） ②． 这也是一个函数，指数x是自变量． 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减． 问题2 根据的上述的两个引例得到的两个方程，你是否发现他们有什么相同点？ 新知探究 y =1.11x , x∈[０，＋∞） , x∈[０，＋∞） 相同点： (1)均为幂的形式； (2)底数是一个正的常数 (3)自变量在指数位置 概念生成 指数函数 一般地，把形如的函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是 思考：为什么要规定a>0且a≠1？ 判断：下列函数中，哪些是指数函数？ 概念辨析（导数大书70页） 典例解析（教材P114例1） 例1 已知指数函数设f (x)＝ax(a>0, 且a≠1)，且f (3)=π. 求f (0)，f (1)，f (-3)的值； 解：因为 f (x)＝ax ,且 f(3)=π,则 = π，解得 = , 于是f (x)＝ 所以f (0)==1，f (1)==，f (-3)== 典例解析 例3 (1)在问题1中，平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况。 解：(1)设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则 f (x)=1150×(10x+600)，g(x)=1000×278×1.11x． 利用计算工具可得， 当x=0时，f(0)－g(0)=412000． 当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)． 结合右图可知： 当x＜10.22时，f(x)>g(x)， 当x＞10.22时，f(x)<g(x)． 当x＝14时，f(14)－g(14)≈347303． 这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然 f (x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f(x)=g(x)， 这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)<g(x)，游客给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了． 典例解析 例3 (1)在情景1中，平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况。 典例解析 例3 (2)在情景2中,某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 巩固练习 课本P115 1.下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） C 2.已知函数y=f (x), x∈R，且 求函数y=f (x), x∈R的一个解析式. 巩固练习 课本P115 巩固练习 课本P115 3. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） 解：设现在的蓝藻量为a，经过30天后的蓝藻量为y，则 ∴经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍. 实际应用问题中指数函数模型的类型 （1）指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则： . （2）指数减少模型 设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则： . （3）指数型函数 把形如的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型. 课堂小结 课后作业 1.活页53-54页《4.2.1指数函数的概念》 4.2.2 指数函数的图像和性质（1） 必修第一册 第四章《指数函数与对数函数》 让我们回顾一下前面研究幂函数性质的过程和方法： 图象 值 域？ 单调性？ 奇偶性？ 过定点？ 定义域？ 新知探究 首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质． 请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出和的图象. -2 -1.5 0.35 2.83 -1 -0.5 0.71 1.41 0 0.5 1.41 0.71 1 1.5 2.83 0.35 2 探究1 指数函数的图像 思考：观察y＝()x的图象与函数y＝2x的图象，它们有何特点？ 图象都在x轴上方 探究2 指数函数的图像性质 为了得到指数函数y＝ax（a＞０，且a≠１）的性质，我们还需要选取底数a的若干值，画出更多的具体指数函数的图象进行观察. 可以发现指数函数y＝ax的图象按底数a的取值，可分为0＜a＜1和a＞1两种类型． 探究2 指数函数的图像和性质 图象均在x轴上方 指数函数的图像和性质 (1)分析：因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期． 例4：如图，某城市人口呈指数增长． (1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间； (2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ （翻一番所需的时间称为倍增期） (1)解：该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人增加到20万人所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年． 教材例题 指数函数的应用教材P116 例题：如图，某城市人口呈指数增长． (1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间； (2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ （翻一番所需的时间称为倍增期） (2)分析：要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系． (2)解：因为倍增期为20年，所以每经过20年， 人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年， 该城市人口大约会增长到160万人． 教材例题 指数函数的应用 指数函数的图像和性质的应用 –比较大小 教材P116 指数函数的图像和性质的应用 –比较大小 导学P72例3 (3)y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，3<π，故30.1<π0.1. (5)取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7). (4)画图也行 例1　如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 作直线x＝1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. √ 指数函数的图像和性质的应用—图像性质 导学72页例1 解析： 35 指数函数的图像和性质的应用 –图像性质导学72页 变式1 已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 解：函数y＝|2x－2|的图象如图所示.要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1，故实数a的取值范围为(0,1). 补例2：的图象恒过定点___________. (-5,2) 变式2：的图象恒过定点___________. 指数函数的图像和性质的应用---过定点 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 课堂小结： 指数函数的图像和性质 知识梳理 39 课后作业： 1.活页55-56《指数函数的图像性质（1） 知识梳理 40 4.2.2 指数函数的图像和性质（2） 必修第一册 第四章《指数函数与对数函数》 图象均在x轴上方 指数函数的图像和性质 一、解指数不等式 导学74页例2 ∴3x－1≥－1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}. 反思：利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数 相同的指数式. 解：分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，解得－1<x<5； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数， ∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5， 综上所述，当0<a<1时，x的取值范围是{x|－1<x<5}； 当a>1时，x的取值范围是{x|x<－1或x>5}. (2)已知 >ax＋6(a>0，且a≠1)，求x的取值范围. 一、解指数不等式 导学74页例2 44 二、与指数函数有关的定义域(值域)问题导学74页变式1 y＝af(x)型值域的求法 先求出u＝f(x)的值域， 再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论. 二、与指数函数有关的定义域(值域)问题导学74页变式1 解：函数的定义域为R. 又∵3x>0，∴1＋3x>1， ∴函数的值域为(0,1). 二、与指数函数有关的定义域(值域)问题 47 1.常见题型： (1)比较大小. (2)解不等式、方程. (3)定区间上的值域问题. (4)指数函数图象和性质的综合运用. 2.常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. 课堂小结： 例2　 (1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性； 指数函数性质综合应用----导学75页备选例2 (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围. 49 该函数是减函数，证明：任取x1，x2∈R，x1<x2， f(x2)－f(x1)＝ 因为x1<x2，所以 ， 所以 <0， >0， 所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1).所以该函数在定义域R上是减函数. 例2　 (1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围. 解：由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，得f(t2－2t)<－f(2t2－k). 因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)<f(k－2t2)， 由(1)知，f(x)是减函数，所以t2－2t>k－2t2， 即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立， 例2　 51 (1)求实数a的值； 又a>0，所以a＝1. (2)求f(x)在[0,1]上的值域. 由单调性的性质可知，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增. 52 (2)求f(x)在[0,1]上的值域. 设任意的x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ 因为0≤x1<x2，所以 ，所以 . 又因为x1＋x2>0，所以 ，所以 ， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增. 53 课堂小结： 一、解简单的指数不等式 二、求指数函数的定义域、值域问题 四、指数函数图象和性质的综合运用 三、复合函数单调性—同增异减 知识梳理 54 课后作业： 1.活页56-58《指数函数的图像性质（2） 知识梳理 55 拓展：①＝ar－s(a>0，r，s∈R). ②r＝(a>0，b>0，r∈R). 【详解】由已知得， ， ， ， ，又 补例1：已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b．其中不可能成立的关系式有 ( 　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∴原不等式可以转化为3x－1≤－1. ∵y＝x在R上是减函数， 例2 (1)解不等式3x－1≤2； 解：∵2＝－1， ∴0<<1， ∴－1<－<0， ∴0<1－<1， ∵y＝＝＝1－， 补例1求函数y＝的定义域、值域. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数. 解：由题意，得f(0)＝＝0， 所以a＝1，所以f(x)＝， 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数. 所以Δ＝4＋12k<0，得k<－即为所求. 解：(1)由f(x)＝f(－x)，得＋＝＋， 即4x＋＝0， 所以＝0， 根据题意，可得－a＝0， (2)由(1)可知f(x)＝4x＋， 所以函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)＝4＋＝；最小值为f(0)＝1＋1＝2. 　　故f(x)在[0,1]上的值域为. 补例2　设a>0，函数f(x)＝＋是定义域为R的偶函数. 由(1)可知f(x)＝4x＋， 所以函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)＝4＋＝；最小值为f(0)＝1＋1＝2. 　　故f(x)在[0,1]上的值域为. $