专题14.1倍长中线模型2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题14.1倍长中线模型

1．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．

【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”．

【问题解决】

(1)直接写出图1中的取值范围：______；

(2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明；

(3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】

（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空．

【探究方法】

①延长到，使得；

②连接，通过三角形全等把、、转化到中；

③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________；

方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．

【问题拓展】

（2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：．

①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形

解：如图，延长至，使，连接．

因为是的中点

所以

在和中

所以

②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程．

（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案）