专题14.1倍长中线模型2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册 专题14.1倍长中线模型 1.(24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如 下问题：如图1，在ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小 丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M,使DM=AD, 连接BM,可证△ACD≌△MBD,从而把AB,AC,2AD集中在△ABM中，利用三角形 三边的关系即可判断中线AD的取值范围. 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点 有关的线段)构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中.我们把这 种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法” D 图1 图2 图3 【问题解决】 (I)直接写出图1中AD的取值范围： (2)猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，AD是ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，判断线段 AD和线段EF的数量关系和位置关系，并加以证明. 2.（24-25七年级下.宁夏银川期末)【发现问题】 试卷第1页，共3页 E B 图1 图2 图3 (1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6,AC=4,中线AD的取值范围 是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空。 【探究方法】 ①延长AD到E,使得DE=AD; ②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化到△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的 取值范围是 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 (2)如图2,0A=0B,0C=0D,∠A0C与∠BOD互补，连接AC、BD,E是AC的中点， 试说明：OE=BD. ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长OE至H,使EH=OE,连接CH. H.3 因为E是AC的中点 所以AE=CE 在△AEO和△CEH中 AE=CE ∠AEO=∠CEH OE=EH 所以△AEO兰△CEH(SAS) 试卷第1页，共3页 ②根据①中的条件，可以得到OE=EH,下面只需说明BD=OH,就能得到OE=!BD, 请同学们根据提示补全证明过程， (3)如图3，在(2)的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F,OF=3,OE=6 ·那么△AOC的面积是 (请直接写出答案) 3.（24-25八年级上·全国期末)综合与实践 试卷第1页，共3页 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，ABC中，若AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连 接BE.请根据小明的方法思考： (1)由己知和作图能得到ADC≌EDB,依据是 A.SSS B.AAS C.SAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现中点“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己 知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. [初步运用] (3)如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AE=EF,若EF=3, EC=2,求线段BF的长. B D B 图1 图2 4.(24-25八年级下.甘肃武威·开学考试)【方法学习】 试卷第1页，共3页 D 图1 图2 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，AB=7,AC=5,求 BC边上的中线AD的取值范围. 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长AD到E,使得DE=AD; ②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的 取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中， 【问题解决】 (1)如图1，请写出AD的取值范围是_； (2)如图2，已知ABC中，AD平分∠BAC,且BD=CD,求证：AB=AC. 5.(25-26八年级上·全国·单元测试)某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 试卷第1页，共3页 如图①，在ABC中，AB=6,AC=8,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范 围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请补充 完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程. (1)求证：△ABD≌△ECD. 证明：如图①，延长AD到点E,使DE=AD. 在△ABD和△ECD中， AD=ED(, ∠ADB=∠EDC(), BD=(中点定义)， ·△ABD≌△ECD( E D D 图① 图② (2)由(1)的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 【感悟】解题时，条件中若出现“中点“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图②，在ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是ABC的中线，CE⊥BC,CE=4,且 ∠ADE=90°，求AE的长. 6.（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习)(1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作 试卷第1页，共3页 用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，AD是ABC的中线， 延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,利用全等将边AC转化到BE.在这个过程中小曲 同学证三角形全等，用到的全等判定方法是_，另外他还得到了AC和BE的位置关系是_； (2)问题解决：如图2，AD是ABC的中线，∠BAC=LACB,点Q在BC的延长线上， QC=AB,求证：AQ=2AD: (3)问题拓展：如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段CB上，连接 AD,EA⊥AD,∠ACE=∠ABD.若点F为CD中点，AF交BE于点G,求BE和AF的数 量关系 B B 图2 图3 图1 试卷第1页，共3页 7.(24-25八年级上广东韶关阶段练习)(1)【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内 容：如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE,使CE‖AB,交AD的延长 线于点E,求证：AD=ED. D/ (2)【方法应用】如图①，在△ABC中，AB=6,AC=4,则BC边上的中线AD长度的 取值范围是 (3)【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB川CD,点E是BC的中点，若AE是 ∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想. E 图① 图② 试卷第1页，共3页 8.(24-25七年级下·广东深圳·期末)在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型 的利用倍延中线的方法. 【特例分析】例如：在ABC中，AB=8,AC=6,点D是BC边上的中点，怎样求AD的 取值范围呢？我们可以延长AD到点E,使DE=AD,然后连接BE(如图①)，这样，在 AD-DE △ADC和△EDB中，由于 ∠ADC=∠EDB,ADC兰EDB,AC=EB,接下来，在 BD=CD △ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围. 9 图① 图② 图③ (1)在图①中，中线AD的取值范围是 【拓展探究】 (2)应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC 边于点F,连接EF,若BE=4,CF=2,请直接写出EF的取值范围 【推广应用】 (3)如图③，在四边形ABCD中，∠BCD=149°，∠ADC=31°，点E是AB中点，点F在 DC上，且满足BC=CF,DF=AD,连接CE、ED,请判断CE与ED的位置关系，并证 明你的结论 试卷第1页，共3页 9.(24-25七年级下·上海淞江·期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，如果 AB>AC,求证：∠DAC>LBAD. 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE(请完成后续证明) 0 试卷第1页，共3页