2.2.1 有理数的乘法课件 2025-2026学年人教版数学七年级上册

2.2.1 有理数的乘法 目录 01 探究新知-有理数的乘法法则 02 探究新知-有理数乘法运算律 学习目标 01 学习目标 1. 理解有理数乘法法则，会根据法则进行有理数乘法运算。 2. 掌握有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并能运用运算律简化计算。 3. 通过对有理数乘法法则及运算律的探究，培养归纳推理能力，体会类比思想。 课堂导入 01 课堂导入 在小学我们已经掌握了正数的乘法运算，现在数的范围扩展到了有理数，我们需要探索如何在引入负数后保持乘法规律的一致性。通过观察乘法算式的规律，我们可以逐步归纳出有理数的乘法法则。例如，随着乘数递减，积也按固定数值递减或递增，从而得出负数与正数相乘的结果。进一步观察可以发现，两个负数相乘的结果是正数。由此，我们总结出有理数乘法的基本法则：同号得正，异号得负，积的绝对值等于各乘数绝对值的积。 探究新知-有理数的乘法法则 01 一、引入负数后的乘法规律探索 我们已经熟悉正数及0的乘法运算。当数的范围扩大到有理数后，我们希望在有理数范围内，乘法运算仍然保持一致性。为此，我们先观察以下两组乘法算式： (1) 一、引入负数后的乘法规律探索 (2) 一、引入负数后的乘法规律探索 通过观察上述算式，我们可以初步得出： 正数乘负数，积为负数； 负数乘正数，积也为负数； 积的绝对值等于两个乘数绝对值的乘积。 二、负数乘负数的规律探索 接下来，我们进一步探索负数乘负数的情况。观察以下算式： 三、有理数乘法法则的归纳 通过上述探究，我们发现有理数相乘时，既要考虑积的符号，又要考虑积的绝对值。具体法则如下： 1. 符号法则： 同号得正：正数乘正数、负数乘负数，积为正数； 异号得负：正数乘负数、负数乘正数，积为负数。 2. 绝对值法则： 积的绝对值等于两个乘数绝对值的乘积。 3. 特殊情形： 任何数与0相乘，结果都为0。 用代数形式表示如下： 设 、 为正有理数， 为任意有理数，则 四、倒数的概念 在有理数乘法中，若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。 例如： 因此， 和 互为倒数。 一般地，如果两个有理数 和 满足 ，那么 和 是互为倒数。 新知巩固-有理数的乘法法则 01 题目 有理数 ， 的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） 图示：数轴上 在原点左侧， 在原点右侧，且 。 选项： A. B. C. D. 题目 解答： 我们逐项分析每个选项的正确性。 已知条件分析： （因为 在原点左侧） （因为 在原点右侧） （即 的绝对值大于 的绝对值） -- A. 分析： 由于 是负数， 是正数，且 ，所以 的结果是负数。 例如：若 ，，则 。 因此，A 错误。 -- B. 分析： 一个负数乘以一个正数，结果为负数。 即 。 因此，B 错误。 -- C. 分析： 因为 ，所以 。 又因为 ，所以 是两个正数相加，结果一定大于 0。 例如：若 ，，则 。 因此，C 错误。 -- D. 分析： （因为 ），所以 ，所以 是两个负数相加，结果一定小于 0。 例如：若 ，，则 。 因此，D 正确。 -- 总结： 1.题目考查内容 ① 有理数的符号判断 ② 数轴上点的位置与大小关系 ③ 有理数的加减乘运算 ④ 绝对值与相反数的性质 2.题目求解要点 ① 准确理解数轴上点的位置所代表的数的正负与大小 ② 掌握有理数加减乘的基本运算法则 ③ 理解绝对值和相反数的运算规则 ④ 逐项代入验证选项的正确性 3.同类型题目解题步骤 1. 从图中提取信息，判断各数的正负及大小关系 2. 分析每个选项的数学表达式，结合运算法则进行判断 3. 必要时可代入具体数值进行验证 4. 排除错误选项，找出唯一正确的选项 题目 在一个比例中，已知两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的合数，另一个内项是（ ） 选项： A. B. 2 C. D. 4 题目 解答： 我们先回顾比例的基本性质： 在比例 中， 和 是外项， 和 是内项 比例的基本性质是：外项积等于内项积，即 -- 题目条件分析： 两个外项互为倒数，设为 和 一个内项是最小的合数，最小的合数是 4 设另一个内项为 根据比例的基本性质： 左边化简： 解得： -- 总结： 1.题目考查内容 ① 比例的基本性质（外项积等于内项积） ② 倒数的概念 ③ 合数的定义（最小的合数是 4） 2.题目求解要点 ① 明确比例中各项的定义（外项、内项） ② 掌握倒数的定义并能设出变量 ③ 利用比例的基本性质列出等式 ④ 解简单的一元一次方程 3.同类型题目解题步骤 1. 明确题目中各项在比例中的位置（外项或内项） 2. 根据题意设出未知数 3. 利用比例的基本性质列出等式 4. 解方程求出未知数 5. 选择符合题意的选项 探究新知-有理数乘法运算律 01 一、有理数乘法的交换律与结合律 提问：在有理数乘法中，交换两个乘数的位置，积是否改变？三个数相乘时，先乘前两个数与先乘后两个数，积是否相同？ 探究活动： 计算下列各组乘积： 与 换几组数再试一试，如 与 ， 与 观察结果：每组乘积都相同。 结论：在有理数乘法中，交换两个乘数的位置，积不变。 乘法交换律：对于任意有理数 、，有 一、有理数乘法的交换律与结合律 进一步探究： 计算下列乘积： 与 换几组数再试一试，如 与 观察结果：每组乘积都相同。 结论：在有理数乘法中，三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。 乘法结合律：对于任意有理数 、、，有 根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘时，可以任意交换乘数的位置，也可以先乘其中任意两个数。 二、乘法对加法的分配律 提问：一个数与两个数的和相乘，是否等于这个数分别与这两个数相乘后再相加？ 探究活动： 计算下列两组乘积： 与 换几组数再试一试，如 与 观察结果：每组结果都相同。 结论：一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘后再相加。 乘法分配律：对于任意有理数 、、，有 三、多个有理数相乘的符号规律 提问：多个不为0的有理数相乘时，积的符号由什么决定？如果其中一个乘数为0，积又有什么特点？ 探究活动： 观察下列乘积式子，判断它们的积是正还是负： 分析发现： 当负的乘数个数为偶数时，积为正； 当负的乘数个数为奇数时，积为负； 如果有乘数为0，积为0。 结论： 1. 多个不为0的有理数相乘时，负的乘数个数为偶数，积为正；负的乘数个数为奇数，积为负。 2. 只要有一个乘数为0，则积为0。 三、多个有理数相乘的符号规律 应用示例： 1. 负号个数为3个（奇数），故积为负。 绝对值相乘： 所以结果为： 2. 负号个数为2个（偶数），故积为正。 绝对值相乘： 所以结果为：6 新知巩固-有理数乘法运算律 01 题目 如果 ，，那么（    ） A． B． C． D．无法确定 解答 我们来比较两个乘积的大小： 设 我们尝试将两个乘积进行差值比较，即计算 ： 我们注意到两个乘数非常接近，可以尝试使用代数方法进行变形。设 则 所以 代入数值： 因此，。 正确答案是：B． 总结 1.题目考查内容 ① 有理数乘法的运算律（乘法分配律） ② 代数式的变形与比较 ③ 两个乘积之间的大小比较方法 2.题目求解要点 ① 将两个乘积表示为代数式，利用乘法分配律进行变形。 ② 通过构造差值 ，化简后判断其正负。 ③ 利用代数技巧简化复杂乘积的比较问题。 3.同类型题目解题步骤 ① 观察两个乘积的形式，判断是否可以引入变量进行代数表示。 ② 利用乘法分配律展开乘积，构造差值表达式。 ③ 化简差值表达式，判断其正负，从而确定两个乘积的大小关系。 ④ 若差值为正，则第一个乘积大；若差值为负，则第二个乘积大；若差值为0，则两者相等。 新知应用 01 例1题目 计算： (1) ; (2) ; (3) 解答 (1) 根据有理数乘法法则：正数乘以负数结果为负数。 所以： 解答 (2) 根据有理数乘法法则：两个负数相乘结果为正数。 先计算绝对值部分： 所以： 解答 (3) 同样，两个负数相乘结果为正数。 先计算分数乘法： 所以： 例2题目 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为 ℃，登高3 km后，气温有什么变化？ 解答 题目中给出每登高1 km气温下降6 ℃，即变化量为 ℃/km。 登高3 km，即乘以3： 所以气温下降了18 ℃。 答：登高3 km后，气温下降18 ℃。 例3题目 (1) 计算： (2) 用两种方法计算： 解答 (1) 观察发现： 所以原式可化为： 解答 (2) 方法一：先合并括号内分数 通分后，公分母为12： 再乘以12： 解答 方法二：利用乘法分配律 分别计算： 所以： 总结 1.题目考查内容 ①有理数的连乘运算； ②分数的加减与乘法运算； ③乘法分配律的灵活应用。 2.题目求解要点 ①在连乘中合理分组，简化计算； ②分数加减时先通分，再合并； ③掌握分配律的两种使用方式： 先合并括号再乘； 先分别乘再加减。 课堂总结 01 课堂总结 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值等于乘数绝对值的积，任何数与0相乘都得0 。 （2）乘积是1的两个数互为倒数。 （3）有理数乘法运算律：交换律；结合律；分配律 。 （4）几个不为0的数相乘，负乘数个数为偶数，积为正；个数为奇数，积为负；有乘数为0，积为0 。 $