21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册
2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
（预习讲义）
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学习目标
- 了解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的推导过程。
- 记住一元二次方程的根与系数的关系，并能运用该关系解决简单问题。
- 通过观察、归纳、推理等过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
- 感受数学的严谨性和结论的确定性，激发学习数学的兴趣。
知识点梳理
- 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 若一元二次方程
（其中 
、
、
是常数，且 
）的两个实数根分别是 
和 
，则：
(1) 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数，即 
(2) 两根之积等于常数项除以二次项系数的商，即 
- 注意事项：
(1) 该关系成立的前提是一元二次方程有实数根，即根的判别式 
。
(2) 方程必须化为一般形式 （），才能准确确定 、、 的值。
(3) 在运用关系时，要注意公式中的符号。
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重点知识讲解
- 推导过程：
我们知道，对于一元二次方程 
（
），当 
时，它的两个根可以由求根公式给出： 
，
计算两根之和 
： 
分母相同，分子相加： 
化简分子中的 
与 
相互抵消： 
计算两根之积 
： 
这是一个平方差公式的形式：
，其中 
，
分母相同，分子相减： 
由此，我们推导出了一元二次方程的根与系数的关系。
- 基本应用：
应用一：已知方程，求两根的和与积。
例1：设方程 
的两个根为 
，
，求 和 的值。 解：这里 
，
，
。 根据根与系数的关系： 
应用二：已知方程的一个根，求另一个根及方程中的未知系数。
例2：已知方程 
的一个根是 2，求它的另一个根及 
的值。 解：设方程的另一个根为 。 这里 
，
，
。 根据根与系数的关系： 两根之积：
，所以 
。 两根之和：
即 
，所以 
，解得 
。 答：
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方程的另一个根是 3， 的值是 -5。
应用三：不解方程，判断两根的某些代数式的值。
例3：若方程 
的两根为 ，，求 
的值。 解：由根与系数的关系可知： 
，
而 
代入得：
知识点总结
本节我们学习了一元二次方程的根与系数的关系，即对于一般形式的一元二次方程 （），当它有两个实数根 和 时，有： 
和 
。
我们需要理解这个关系的推导过程，并能熟练运用它来解决以下几类问题：
- 已知一元二次方程，直接求两根之和与两根之积。
- 已知一元二次方程的一个根，求另一个根以及方程中的未知系数。
- 不解方程，利用根与系数的关系求与两根有关的代数式的值（如 ，
等）。
在运用根与系数的关系时，一定要注意：
- 方程必须是一般形式，且二次项系数 。
- 方程必须有实数根（即
）。 - 准确记忆公式，并注意公式中的符号。
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