22.3　相似三角形的性质 课件 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

22.3　相似三角形的性质 第22章　相似形 A C B A1 C1 B1 问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？ 导入新课 A C B A1 C1 B1 相似三角形对应角相等、对应边成比例. △ABC∽ △A1B1C1 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 量一量，猜一猜 D1 A1 C1 B1 ∟ A C B D ∟ ΔABC ∽ ΔA1B1C1, ,CD和C1D1分别是它们的高, 你知道 等于多少吗？ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？ 讲授新课 A B C A' B' C' 合作探究 相似三角形对应高的比等于相似比 一 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∴△ABD ∽△A' B' D' . A B C A' B' C' D' D 由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比． 　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比． 归纳总结 例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. (1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？ (2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ (3)求正方形PQRS的边长. S R Q P E D C B A 典例精析 （1）AE是ΔASR的高吗？为什么？ 解： AE是ΔASR的高. 理由： ∵AD是ΔABC的高 ∴ ∠ADC=90° ∵四边形PQRS是正方形 ∴SR∥BC ∴∠AER=∠ADC=90° ∴ AE是ΔASR的高. BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. S R Q P E D C B A BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ 解： ΔASR与ΔABC相似. 理由: ∵ SR∥BC ∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ ΔASR与ΔABC相似. S R Q P E D C B A （3）求正方形PQRS的边长. 是方程思想哦！ 解：∵ ΔASR ∽ ΔABC AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高 ∴ 设正方形PQRS的边长为 x cm, 则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm ∴ 解得：x=24 ∴正方形PQRS的边长为24cm. S R Q P E D C B A 变式： 如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？ S R Q P E D C B A 如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm. 设SP=xcm，则SR=2x cm 得到： 所以 x=2 2x=4 S矩形PQRS= 2×4=8cm2 S R Q P E D C B A 分析： 情况一：SR=2SP 设SR=xcm，则SP=2x cm 得到： 所以 x=2.5 2x=5 S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2 原来是分类思想呀！ S R Q P E D C B A 分析： 情况二：SP=2SR 如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比 二 问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 16 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠B′= ∠B, ． 又AD,AD′分别为对应边的中线. ∴ △ABD∽△A′B′D′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想1 由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相似比． 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比． 归纳总结 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B′= ∠B, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又AD,AD′分别为对应角的平方线 ∴ △ABD∽△A′B′D′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想2 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 归纳总结 例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线长为xcm， 则由相似性质有 . 解得x＝18. 较长的角平分线长为24cm. 故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm. 相似三角形周长比等于相似比 三 问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______， (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______. 1∶ 2 结论： 相似三角形的周长比等于______． 相似比 （都相似） 1∶ 3 1∶ 2 1∶ 3 有什么规律吗？ 22 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 求证：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A1 B1 C1 想一想：怎么证明这一结论呢？ 23 相似三角形周长的比等于相似比. 归纳总结 ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 ∴△DEF的周长= △ABC的周长， △DEF的周长=12. 例3.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，求△DEF的周长． A B C D E F 又 ∠D＝∠A 解：在△ABC和△DEF中， ∵ AB＝2DE，AC＝2DF ∴ 导入新课 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们周长的比等于相似比.那么它们面积之比之间有什么关系？也等于相似比吗？ A B C A1 B1 C1 问题引入 26 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的面积比=______ (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的面积比=______ 相似三角形的面积比等于相似比的平方 1 2 3 1∶ 2 （1） （2） （3） 1∶ 4 1∶ 3 1∶ 9 问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题： 结论： 相似三角形的面积比等于__________． 相似比的平方 讲授新课 27 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k, 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′. A B C A′ B′ C′ D D′ 想一想：怎么证明这一结论呢？ ∵△ABC∽△A′B′C′. 28 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 归纳总结 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比 课堂小结 相似三角形周长之比等于相似比 1. 若两个相似三角形对应中线的比为 ，则它们对应边上的高之比为（　） A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 新趋势·跨学科 如图所示为小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（　B　） A. cm B. 1cm C. cm D. cm （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的最短边长为6，那么△DEF的周长等于 　24　. 4. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为 　12　. （第4题） 24　 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，AB∥DC，∠ABC＋∠ADB＝180°. （第5题） （1） 求证：△ABD∽△BDC. 解：（1） ∵ AB∥DC，∴ ∠ABD＝∠BDC，∠ABC＋∠C＝180°.∵ ∠ABC＋∠ADB＝180°，∴ ∠C＝∠ADB. ∴ △ABD∽△BDC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC的值. 解：（2） ∵ BF＝2AE，∴ ＝ .又∵ △ABD∽ △BDC，AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，∴ ＝ ＝ ＝ .∵ S△ABD＝3，∴ S△BDC＝4S△ABD＝12. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，在△ABC中，D，E和F，G分别是边AB，AC的三等分点，△ABC的面积为27，则四边形DEGF的面积为（　D　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 （第6题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. （2024·滁州期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 ，则△CEF的周长为（　D　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. ★在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE，AC相交于点F，则S△AEF∶S△CBF＝ 　4∶25或9∶25　. 4∶25或9∶25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，E为▱ABCD的边BC的延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G. （第9题） （1） 若CG∶GD＝1∶2，求△ABE与△GDA的周长比. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC. ∴ ∠BAE＝∠DGA. ∴ △ABE∽△GDA. ∵ CG∶GD＝1∶2，∴ GD∶CD＝2∶3.∴ AB∶GD＝CD∶GD＝3∶2.∴ △ABE与△GDA的周长比为3∶2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若△ABE与△GDA的面积比是k∶1（k＞1），求 的值. 解：（2） 由（1），知△ABE∽△GDA，∴ ＝ .∵ △ABE与△GDA的面积比是k∶1（k＞1），∴ ＝ ＝k.∴ ＝ .∴ ＝ .∴ ＝ －1. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝∠B，点E在边AB上，连接CE交AD于点H，点F在CE上，且满足CF·CE＝CD·BC，连接AF，DF. （第10题） （1） 求证：△ACF∽△ECA. 解：（1） ∵ ∠ACD＝∠BCA，∠CAD＝∠B，∴ △ACD∽△BCA. ∴ ＝ .∴ AC2＝CD·BC. ∵ CF·CE＝CD·BC，∴ AC2＝CF·CE. ∴ ＝ .∵ ∠ACF＝∠ECA，∴ △ACF∽△ECA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 当CE平分∠ACB时，求证： ＝ . 解：（2） ∵ CE平分∠ACB，∴ ∠ACE＝∠DCH. ∵ ∠CAD＝∠B，∴ ∠B＋∠DCH＝∠CAD＋ ∠ACE，即∠CEA＝∠CHD. ∴ △ACE∽△DCH. ∴ ＝ ＝ .由（1）知，AC2＝CD·BC，∴ ＝ . （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $