22.2第5课时　直角三角形相似的判定课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

22.2　相似三角形的判定 第5课时　直角三角形相似的判定 第22章　相似形 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形，类似于判定三角形全等的HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？ 导入新课 回顾与思考 利用边判定直角三角形相似 画一画：在下图的边长为1的方格上任画一个直角三角形，再画出第二个三角形，使它的一直角边和斜边长都是原三角形的对应边长的两倍． 画完之后，用量角器比较两个 三角形的对应角，你发现了什 么结论？大家的结论都一 样吗？ B C A F E D 发现这两个三角形相似． 讲授新课 证明：设 由勾股定理 ，得 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠C=90°,∠C′=90°. ，求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 探究 A' B' C' A B C ∴ ∴ ∴Rt △ABC∽Rt △A′B′C′. A' B' C' A B C 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似. A B C 那么△ABC∽△A1B1C1. A1 B1 C1 Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 归纳 几何语言 典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10. 求证：△ABC∽△B′C′A′. 证明：在Rt△ABC中， 又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′. 例2 如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是( ) 【解析】设网格的边长是1，则 所以AB:AC:BC=1:2: ∴△ABC是直角形三角，且AB∶AC＝1∶2， ∵选项A、D选项不是直角三角形，∴排除A、D选项；∵B选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2， C选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2， ∴选项B正确． B 以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键． 方法总结 例3 如图，∠ABC＝∠CDB=90°，CB＝a，AC＝b.问当BD与a，b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以C，D，B为顶点的三角形相似？ 解：∵∠ABC＝∠CDB＝90°， 当 时，△ABC∽△CDB. 当 时，△ABC∽△BDC. ∴ 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 例4 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长. D A B C E ∴ 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳总结 相似图形三角形的判定方法： 通过定义 平行于三角形一边的直线 两角分别相等 两边对应成比例且夹角相等 三边对应成比 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （三边对应成比例，三角相等） （AA） （SAS） （HL） 课堂小结 （SSS） 1. 若两个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为1，3和4，12，则这两个直角三角形（　A　） A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 以上都不对 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 有下列判断：① 所有的直角三角形都相似；② 所有的等腰直角三角形都相似；③ 有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④ 有两边对应成比例的两个直角三角形相似.其中，正确的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是（　） A. ∠CAB＝∠D B. AD∥BC C. ＝ D. ＝ （第3题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，AB⊥CB于点B，AC⊥CD于点C，AB＝6，AC＝10，当CD＝ 　 　时，△ABC∽△ACD. （第4题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点.已知CD＝1，AD＝ ，AB＝2 ，求证：Rt△ADC∽Rt△BAC. （第5题） 解：∵ 在Rt△ACD中，∠C＝90°，CD＝1，AD＝ ，∴ 易得CA＝2.∴ ＝ ＝ ， ＝ .∴ ＝ ＝ .∴ Rt△ADC∽Rt△BAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，连接CD，BE，CD与BE，AE分别交于点P，M，连接AP. 给出下列结论：① △BAE∽△CAD；② MP·MD＝MA·ME；③ 2CB2＝CP·CM. 其中，正确的是（　A　） A. ①②③ B. ① C. ①② D. ②③ （第6题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 分类讨论思想 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与点B，C重合）.若以D，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC的长为 　6或 　. （第7题） 6或 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以△ABC的一条直角边AB为斜边，向外作Rt△ABD，延长AD交CB的延长线于点E，已知AB2＝AC·AD. （第8题） （1） 求证：△ABC∽△ADB. 解：（1） ∵ △ABC与△ADB都是直角三角形，∴ ∠ABC＝∠ADB＝90°.∵ AB2＝AC·AD，∴ ＝ .∴ △ABC∽△ADB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 若AC＝10，BE＝6，求DE的长. 解：（2） ∵ △ABC∽△ADB，∴ ∠C＝∠ABD. ∵ ∠ADB＝∠ABC＝90°，∴ ∠BDE＝∠ABE＝ 90°.∴ ∠E＋∠DBE＝90°，∠ABD＋∠DBE＝ 90°.∴ ∠E＝∠ABD. ∴ ∠C＝∠E. ∴ AE＝AC＝10.∵ ∠E＝∠E，∠BDE＝∠ABE，∴ △BDE∽△ABE. ∴ ＝ .∴ DE＝ .又∵ BE＝6，∴ DE＝ ＝ . （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的位置如图所示，O为原点，点A，B的坐标分别为（0，8），（6，0），点P在线段AB上，且AP＝6. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1） 求点P的坐标. 解：（1） 如图，过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D. ∵ A（0，8），B（6，0）， ∴ OA＝8，OB＝6.∴ AB＝ ＝10.设点P的坐标为（x，y），则PD＝x，PC＝y.由题意，易得 ＝ ， ＝ .又∵ AP＝6，∴ ＝ ， ＝ ，解得x＝3.6，y＝3.2.∴ 点P的坐标为（3.6，3.2）. （第9题答案） （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 在x轴上是否存在点Q，使得以B，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（2） 存在.设点Q的坐标为（q，0）.易知点Q在点 B的左侧.若BP为斜边，则Rt△PQB∽Rt△AOB. 由（1） 可知，点Q与点C重合，此时q＝3.6.若BQ为斜边，则Rt△QPB∽Rt△AOB. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ BQ ＝ .∵ OB＝6，∴ q＝6－ ＝－ .综上所述，点Q的坐标为 （3.6，0）或 . （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $