21.5第3课时　反比例函数的应用课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“反比例函数的应用”核心知识点，通过复习矩形面积一定时长与宽的关系，引导学生举例（如三角形面积一定时底与高的关系），搭建从反比例函数概念到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合生活实例（如湿地压强、煤气储存室容积）和跨学科案例（物理杠杆原理、电学功率），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过问题链引导建立函数模型发展数学思维，课堂小结明确“分析情境—建立模型—解决问题”步骤，助力学生用数学语言表达实际问题，帮助学生理解数学应用价值，教师可高效开展情境化教学。

21.5　反比例函数 第3课时　反比例函数的应用 第21章　二次函数与反比例函数 导入新课 对于一个矩形，当它面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数解析式可以写为 (S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式． 实例： 函数解析式： ． 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 (S＞0) 的反比例函数 ； 讲授新课 反比例函数在实际生活中的应用 一 引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合 计600N，那么 (1)用含S的代数式表示p，p是S的反比 例函数吗？为什么？ 3 由p＝ 得p＝ p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数． (2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？ 当S＝0.2m2时， p＝ ＝3000(Pa) ． 答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa． (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 图象如下 当 p≤6000 Pa时，S ≥0.1m2． 0.1 0.5 O 0.6 0.3 0.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p/Pa S/ 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 典例精析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小 数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 想一想： 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x =12×5=60，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完. (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200－8×60=720 (立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6=120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆). 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=480， 整理得 (t ＞0). 例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 反比例函数在其他学科中的应用 一 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为 当 l=1.5m 时， 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂l至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量. 解：当F=400× =200 时，由200 = 得 300－1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越 小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 米， 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 练一练 变形得： 故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 例5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U ~ 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 因此用电器功率的范围为220~440 W. 课堂小结 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 1. 一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x＝2时，y＝20，则y与x的函数图象大致是（　C　） 　　 　　 　　 A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示为该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（1100，0.2）.根据图象可知，下列说法正确的是（　A　） A. I与R的函数表达式为I＝ （R＞0） B. 当R＝100时，I＝5 C. 当R＞1100时，I＞0.2 D. 当电阻R（Ω）越大时，该台灯的电流I（A）也越大 （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝ 　4　m/s. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）是气体体积V（mL）的反比例函数，其图象如图所示. （第4题） （1） 求反比例函数的表达式（不用写自变量的取值范围）. 解：（1） 设反比例函数的表达式为p＝ .由题意，知200＝ ，∴ k＝6000.∴ 反比例函数的表达式为p＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 若气球内气体的压强不能超过800kPa，为了安全起见，则其体积要控制在什么范围？ 解：（2） 当p＝800时，V＝ ＝7.5.∵ 在第一象限，p随V的增大而减小，∴ 当p≤800时，V≥7.5.∴ 为了安全起见，气体的体积应不小于7.5mL. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 某校举行数学文化竞赛，如图所示的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述（1）班和（4）班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　B　） A. 八年级（1）班 B. 八年级（2）班 C. 八年级（3）班 D. 八年级（4）班 （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图所示为8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）.函数y＝ （x＜0）的图象为曲线L. 若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ 　5　. （第6题） 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 某汽车监测站用一种一氧化碳检测仪测量家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图①所示，其工作原理为当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高.气敏电阻R（Ω）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量β（mg/m3）变化的关系图象如图②所示，R0（Ω）为定值电阻，电源电压恒定不变. 　　 （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 根据图②可以判断气敏电阻R（Ω）与尾气中一氧化碳的含量β（mg/m3）之间成 　反比例　函数，其函数表达式为 　R＝ 　. （2） 若某家用燃油汽车的气敏电阻为0.3Ω，求该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量. 解：（2） 当R＝0.3时， ＝0.3，解得β＝ . ∴ 该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量为 mg/m3. 反比例　 R＝ 　 （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （3） 若家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量不超过0.1mg/m3方可达到环保标准，求出该家用燃油汽车的气敏电阻R应控制在什么范围. 解：（3） 当β＝0.1时，R＝ ＝ ＝10. 由函数的性质可知，当β≤0.1时，R≥10. ∴ 该家用燃油汽车的气敏电阻R应控制在R≥10. 1 2 3 4 5 6 7 8 $