21.5第2课时　反比例函数的图象和性质课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象绘制、性质（象限分布、增减性）、k的几何意义及应用。课堂导入通过复习已学函数及图象绘制方法，引出反比例函数，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于采用“具体实例—观察猜想—归纳证明”的探究路径，从画y=6/x和y=12/x图象入手，引导学生抽象出k>0与k<0时的性质，培养抽象能力和推理意识。k的几何意义环节通过合作探究矩形面积，结合几何直观理解S=|k|，例题和练习题联系实际，培养模型意识。学生能提升观察推理能力，教师可借助清晰结构高效教学。

21.5　反比例函数 第2课时　反比例函数的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 导入新课 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 复习引入 2 反比例函数的图象和性质 一 讲授新课 例1 画反比例函数 与 的图象. 合作探究 提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 3 解：列表如下： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 4 O －2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可 得 　的图象． 5 观察这两个函数图象，回答问题： 思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 观察与思考 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： ●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交； ●在每个象限内，y随x的增大而增大. 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 反比例函数的图象和性质的初步运用 二 反比例函数解析式中 k 的几何意义 三 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 合作探究 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|. y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA =a· (－b)=－ab=－k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. 点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO的 面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= . Q 对于反比例函数 ， A B |k| y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 课堂小结 1. 已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为（　A　） 　　 　　 　　 A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 已知反比例函数y＝ （k≠0）与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（　A　） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知点P（2，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则n＝ 　5　. 4. 若反比例函数y＝ 的图象在第一、三象限，则点（k，－3）在第 　四　象限. 5　 四　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 已知反比例函数y＝ （a为常数）. （1） 若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围. 解：（1） ∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限，∴ 2a＋8＜0，解得a＜－4.∴ a的取值范围是a＜－4. （2） 当x＞0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围. 解：（2） ∵ 当x＞0时，y随x的增大而减小，∴ 2a＋8＞0，解得a＞－4.∴ a的取值范围是a＞－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ （x＞0）与y＝x－1的图象交于点P（a，b），则代数式 － 的值为（　C　） A. － B. C. － D. （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 反比例函数y＝ （x＞0）与y＝－ （x＞0）的图象如图所示，B为x轴正半轴上一动点，过点B作AC∥y轴，分别交反比例函数y＝ （x＞0）与y＝－ （x＞0）的图象于点A，C，点D，E（点E在点D的上方）在y轴上，且DE＝AC，则四边形ACDE的面积为（　　） A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8 （第7题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，A，B是双曲线y＝ （x＞0）上的点，分别过A，B两点作x轴、y轴的垂线段，S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积.若S3＝1，且S1＋S2＝4，则k＝ 　3　. （第8题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，矩形OABC与反比例函数y1＝ （k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝ （k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON. 若四边形OMBN的面积为6，则k1－k2的值为 　－6　. （第9题） －6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，一次函数y＝ x＋3的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象交于点A. （第10题） （1） 若点A的坐标为（a，4），则k＝ 　 　. （2） 若k＝12，则△OAB的面积为 　3　. 　 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝ （x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C. （第11题） （1） 求一次函数和反比例函数的表达式. 解：（1） 把A（1，6）代入y2＝ ，得m＝6，∴ 反比 例函数的表达式为y2＝ （x＞0）.把B（3，n）代入 y2＝ （x＞0），得n＝2，∴ 点B的坐标为（3，2）.把A（1，6），B（3，2）代入y1＝kx＋b，得 解得 ∴ 一次函数的表达式为y1＝－2x＋8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 （2） 根据图象，直接写出当y1＞y2时，x的取值范围. 解：（2） 根据图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜3. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 若点P在x轴上，且△APC的面积为12，求点P的坐标. 解：（3） ∵ 一次函数y1＝－2x＋8的图象与x轴交于点 C，∴ 点C的坐标为（4，0）.∵ 点A的坐标为（1，6），点P在x轴上，且△APC的面积为12，∴ CP·｜yA｜＝ CP×6＝12.∴ CP＝4.∴ 点P的坐标为（0，0）或（8，0）. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $