21.5第1课时　反比例函数课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

21.5　反比例函数 第1课时　反比例函数 第21章　二次函数与反比例函数 导入新课 情境引入 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记本数量y/本 通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 2 讲授新课 反比例函数的概念 一 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. 合作探究 (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速 度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； 3 (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草 坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的 变化而变化； (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占 有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化. 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 问题： 都具有 的形式，其中 是常数． 分式 分子 (k为常数，k ≠ 0) 的函数， 叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 一般地，形如 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的 值时，v 都有唯一确定的值与其对应. 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 想一想： 反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0) 解：因为 是反比例函数 所以 4－k2=0， k－2≠0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的解析式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k的值，并写出该反比例函数的解析式. 确定反比例函数的解析式 二 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 解得 k =12. 因此 (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：把 x=4 代入 ，得 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 例3：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa是它的受力面积S m2的反比例函数，如图. （1）求p与S之间的函数表达式； （2）当S=0.5时，求p的值. 解：（1）设 （k≠0）， 因为函数图象过点（0.1,1000）, 代入上式，得 解得k=100. 所以p与S的函数表达式是 ； （2）当S=0.5时， p s O 0.1 1000 11 建立简单的反比例函数模型 三 例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 12 当 v=100 时，f =40. 所以当车速为100km/h 时视野为40度. 解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，所以 解得 k =4000. 因此 课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数 1. ★有下列函数：① y＝x－2；② y＝－ ；③ y＝ －1；④ y＝ .其中，y是x的反比例函数的有（　B　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 某数学跨学科学习小组在研究中学习到：当压力一定时，压强p（Pa）与受力面积S（m2）存在反比例函数关系.下表是他们实验的几组数据： S/m2 10 20 30 40 p/Pa 60 30 20 15 则压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式为（　A　） A A. p＝ B. p＝600S C. p＝ D. p＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 若函数y＝（m2－3m）x｜m｜－4为反比例函数，则m＝  　－3　. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 写出下面的问题中的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数. （1） 某农场的粮食总量为1500t，则该农场的人数y与平均每人占有粮食量x（t）之间的函数表达式. 解：（1） y＝ ，是反比例函数. （2） 在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的价格为每升8.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）之间的函数表达式. 解：（2） y＝8.75x，不是反比例函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 已知反比例函数的表达式为y＝ ，则a的取值范围是（　C　） A. a≠2 B. a≠－2 C. a≠±2 D. a＝±2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 若三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S＝ ah.下列说法错误的是（　C　） A. 当a为定长时，S是h的一次函数 B. 当h为定长时，S是a的一次函数 C. 当S确定时，a是h的一次函数 D. 当S确定时，h是a的反比例函数 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 已知y与x成正比例，z与y成反比例，则z与x之间的关系是（　B） A. 成正比例 B. 成反比例 C. 有可能成正比例，也有可能成反比例 D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如：（－1，－1），（0，0），（ ， ），…，都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个.应用：若P（2，m）是反比例函数y＝ （n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，则这个反比例函数的表达式为 　y＝ 　. y＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知反比例函数y＝－ ，将x＝ 代入函数表达式，所得函数值记为y1，再将x＝y1＋1代入函数表达式，所得函数值记为y2，然后将x＝y2＋1代入函数表达式，所得函数值记为y3……如此继续下去，则y2024＝ 　2　. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （第10题） （1） 求y关于x的函数表达式. 解：（1） 由题意，得xy＝1600×0.5，则y＝ ，即y关于x的函数表达式为y＝ . 10. 如图，小明想要用撬棍撬动一块石头，阻力为1600N，阻力臂长为0.5m.设动力为y（N），动力臂长为x（m）（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？ 解：（2） ∵ y＝ ，∴ 当x＝2时，y＝ ＝400. ∴ 当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要400N的力. （3） 小明若想使动力不超过300N，在动力臂长最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由. 解：（3） 他不能撬动这块石头.理由：当动力臂长最大为2.5m，即当x＝2.5时，y＝ ＝320，此时动力最小，为320N. ∵ 300N＜320N，∴ 他不能撬动这块石头. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知y＝y1＋y2，y1与（x－1）成正比例，y2与（x＋1）成反比例，当x＝0时，y＝－3，当x＝1时，y＝－1.求： （1） y的函数表达式. 解：（1） ∵ y1与（x－1）成正比例，y2与（x＋1）成反比例，∴ 设y1＝k1（x－1），y2＝ .∵ y＝y1＋y2＝k1（x－1）＋ ，当x＝0时，y＝－3，当x＝1时，y＝－1，∴ 解得 ∴ y＝x－1－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 当x＝－2时，y的值. 解：（2） 当x＝－2时，y＝x－1－ ＝－2－1－ ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $