21.2第6课时　二次函数表达式的确定课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的确定，通过复习一次函数待定系数法导入，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，清晰呈现前后知识脉络，引导学生自然过渡到新知识探究。 其亮点在于分三种方法系统教学，一般式、顶点式、交点式均配有探究问题、例题解析及归纳总结，培养学生数学思维（运算能力、推理意识）与模型意识。如顶点式通过顶点坐标设表达式求解，具体实例帮助学生掌握方法，既提升学生解题能力，也为教师提供结构化教学方案。

21.2　二次函数的图象和性质 第6课时　二次函数表达式的确定 第21章　二次函数与反比例函数 导入新课 复习引入 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 一般式法二次函数的表达式 一 探究归纳 问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 讲授新课 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得 ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式） 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 5 例1 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， 解这个方程组，得 ∴所求的二次函数的表达式是 练一练:已知关于x的二次函数,当x=0时, y=－1;当x=－2时, y=0;当x= 时, y=0,求这个二次函数的解析式. 由题意得： 解：设所求的二次函数为 , 2 c bx ax y + + = 解得 所求的二次函数为 顶点法求二次函数的表达式 二 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得 ∴所求的二次函数的解析式是 解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式. 交点法求二次函数的表达式 三 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴. 特殊条件的二次函数的表达式 四 例3.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3) 和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， 3=4a+c， －3=a+c， ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5. ∴{ a=2， c=－5. 解得 { 关于y轴对称 B C 二次函数与一次函数的综合 五 解：如图所示； 例5 ：抛物线 与直线 交于B,C两点. （1）在同一平面直角坐标系中 画出直线与抛物线； 解：由 （2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积； x y O A 2 -1 -2 -3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 得点A的坐标为（4,0） 解方程组 得B（2,2）,C（7,4.5） x y O A B1 -1 -2 -3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2 C1 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 1. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝ x2－4x＋3相同，顶点坐标为（－2，1），则此抛物线对应的函数表达式为（　C　） A. y＝ （x－2）2＋1 B. y＝ （x＋2）2－1 C. y＝ （x＋2）2＋1 D. y＝ （x－2）2－1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 如图所示的抛物线对应的函数表达式为（　B　） A. y＝x2－2x＋3 B. y＝x2－2x－3 C. y＝x2＋2x＋3 D. y＝x2＋2x－3 （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.写一个经过点（2，0），（3，0）的抛物线对应的函数表达式： 　y＝x2－5x＋6　.（答案不唯一） 4. 抛物线y＝x2－mx＋m－2的顶点在y轴上，则此抛物线对应的函数表达式为 　y＝x2－2　. y＝x2－5x＋6　 （答案不唯一） y＝x2－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. ★已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中x和y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 －1 0 m 8 … （1） m的值为 　3　. （2） 这个二次函数的表达式为 　y＝x2－4x＋3　. 3　 y＝x2－4x＋3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（－2，0），C（0，－2）. （第6题） （1） 求二次函数的表达式. 解：（1） 把A（－2，0），C（0，－2）代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴ 二次函数的表达式为y＝x2＋x－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标. 解：（2） 由题意，设点P的坐标为（m，m2＋m－2）（m＜0）. ∵ △PDB的面积是△CDB的面积的2倍，∴ ＝2，即 ＝2.∴ m2＋m－2＝4，解得m1＝－3，m2 ＝2（舍去）.∴ 点P的坐标为（－3，4）. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 已知抛物线y＝x2－2x＋c的顶点A在直线y＝x－5上，则该抛物线对应的函数表达式为（　A　） A. y＝x2－2x－3 B. y＝x2＋2x＋3 C. y＝x2－2x－4 D. y＝x2＋6x＋4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0，h，k为常数）的图象开口向下，当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，则h的值可能为（　D　） A. 2 B. 3 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－1，0）与B（5，0）两点，与y轴交于点C. 若点P在该抛物线的对称轴上，则PA＋PC的最小值为（　C　） A. 6 B. 3＋ C. 5 D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.我们把对称轴和开口方向都相同的抛物线称为“同向共轴抛物线”.例如：抛物线y＝－3（x－2）2＋3与y＝－ （x－2）2－1的对称轴都是直线x＝2，且开口方向都向下，则这两条抛物线为“同向共轴抛物线”.若抛物线y＝ax2－x＋c与y＝ （x－3）2＋1是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位，则该抛物线对应的函数表达式为 　y＝ （x－3）2＋4或y＝ （x－3）2－2　. 11. （2024·海宁模拟）已知二次函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数且b＞0，c＜0），当－5≤x≤0时，－11≤y≤5，则c的值为 　－10　. y＝ （x－3）2＋4或y＝ （x－3）2－2　 －10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A（－3，0），与y轴交于点C，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO，则抛物线对应的函数表达式为 　y＝－ x2＋ x＋4　. （第12题） y＝－ x2＋ x＋4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点A（－2，5），对称轴为直线x＝－ . （1） 求二次函数的表达式. 解：（1） 二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3. （2） 若点B（1，7）先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值. 解：（2） m的值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） 当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围. 解：（3） n的取值范围是－ ≤n≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $