21.2第5课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过表格对比顶点式性质复习引入，以具体函数实例引出一般式转化问题，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于配方法步骤清晰，推导顶点坐标公式培养推理能力，合作探究字母系数与图象关系发展抽象能力和几何直观，综合例题提升应用意识，助力学生逻辑推理与问题解决，为教师提供系统教学流程和多样化例题，提升教学效率。

21.2　二次函数的图象和性质 第5课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 导入新课 复习引入 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0,0) y轴 0 (0,-5) y轴 -5 (-2,0) 直线x=-2 0 (-2,-4) 直线x=-2 -4 (4,3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 讲授新课 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一 探究归纳 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 7 问题4 如何画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图， 得到图象如右图. O 问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x=6 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. O 例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 ， 先列表： 典例精析 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2. 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 二 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ y=ax²+bx+c 归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 (1) (2) x y O x y O 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当 x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当 x> 时，y随x的增大而减小. 15 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,3) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6 ( ,-6) 直线x= 二次函数字母系数与图象的关系 三 合作探究 问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 x y O y=k2x+b2 y=k3x+b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＞ ＞ ＜ ＜ k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＜ ＞ x y O 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在y轴左侧，x＜0 对称轴在y轴右侧，x＞0 x=0时，y=c. x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是y轴，x=0 对称轴在y轴右侧，x＞0 x=0时，y=c. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 课堂小结 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a＜0，b＞0，c＜0，则这个函数的图象大致是（　B　） 　　 　　 　　 A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2（x＋5）（x－3）经一次变换后得到抛物线y＝2（x＋3）（x－5），则这个变换可以是（　B　） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移8个单位 D. 向下平移8个单位 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 已知抛物线y＝x2－4x＋5，下列结论错误的是（　B　） A. 抛物线开口向上 B. 当x＜2时，y随x的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线x＝2 D. 抛物线与y轴的交点坐标为（0，5） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 若抛物线y＝x2＋mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝ 　－2　. 5. 已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1 　＜　y2（填“＞”或“＜”）. －2　 ＜　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 已知抛物线y＝－x2＋4x－3. （1） 在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线. （第6题） 解：（1） 画出的抛物线如图所示. （第6题答案） （第6题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 求出该抛物线的对称轴和顶点坐标. 解：（2） ∵ y＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1，∴ 抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）. （3） 设抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B左侧），与y轴的交点为C，请根据图象直接写出A，B，C三点的坐标. 解：（3） 由图象，可知A（1，0），B（3，0），C（0，－3）. （4） 当x取何值时，y随x的减小而减小？ 解：（4） 当x＜2时，y随x的减小而减小. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx＋b在同一平面直角坐标系中的位置大致正确的是（　D　） 　　 　　 　　 A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 已知二次函数y＝x2－2x（－1≤x≤t－1），当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　C　） A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：① abc＜0；② b＜a＋c；③ 4a＋2b＋c＞0；④ 2c＜3b；⑤ a＋b＜m（am＋b）（m≠1）.其中，正确的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （第9题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 若二次函数y＝x2－2x－3的图象上有且只有三个点到x轴的距离为m，则m的值为 　4　. 11. 如图，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A，B之间（点C不与点A，B重合）.若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为 　a＋4　（用含a的代数式表示）. 4　 a＋4　 （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知二次函数y＝－x2＋mx＋n. （1） 当m＝2，n＝1时，该函数图象的顶点坐标为 　（1，2）　. （2） 当x＜0时，y的最大值为7；当x≥0时，y的最大值为3，则m＋n＝ 　－1　. （1，2）　 －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $