21.3　二次函数与一元二次方程课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

21.3　二次函数与一元二次方程 第21章　二次函数与反比例函数 讲授新课 二次函数与一元二次方程的关系 一 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？ h=20t-5t2 （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？ O h t 20 4 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2秒时，它的高度为20米. h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度? 20.5 解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米. h=20t-5t2 4 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面. h=20t-5t2 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 6 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 利用二次函数深入讨论一元二次方程 二 思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1. 8 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 9 知识要点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 10 变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到3m？为什么？ 解 （1）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始 位置的水平距离是1m或5m. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m. （3）由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m. （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 例3：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 三 解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间. 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4. 同理可得另一近似值为x2≈2.4. 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. (1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象； (2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5. 方法归纳 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 二次函数与一元二次不等式的关系 一 问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _____ _____; 不等式ax2+bx+c>0的解集 是___________; 不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________. 3 -1 O x y x1=-1， x2=3 x<-1或x>3 -1<x<3 合作探究 讲授新课 问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______. 1 (2,0) x=2 2 O x 问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 0 解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解； (2)当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 3 -1 O x 思考： m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的两个交点关于原点对称？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的正半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的负半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的正负半轴都有交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8经过原点？ 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 （x1＜x2） 有一个交点x0 没有交点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x2 y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x2. y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解. y＞0，所有实数；y＜0，无解 y＜0，所有实数；y＞0，无解 利用两个函数图象求不等式的解集 二 例2 已知抛物线 (a＞0）与直线 相交于点O（0,0）和点A（3,2），求不等式 的解集. 分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的解析式.因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集. 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 由图可知，不等式 的解集为 或 . 方法归纳 不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 上方的点的横坐标所组成的范围. 不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 下方的点的横坐标所组成的 范围. 课堂小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ 判别式△=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集 不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集 x2 x1 x y o O x1= x2 x y x O x y x △>0 △＝0 △＜0 x1 ; x2 x1 =x2 ＝－b/2a 没有实数根 x<x1或x>x2 x ≠ x1的一切实数 所有实数 x1<x<x2 无解 无解 课堂小结 1. 抛物线y＝x2＋3x－1与x轴交点的情况是（　D　） A. 有三个交点 B. 没有交点 C. 有一个交点 D. 有两个交点 2. 已知二次函数y＝x2＋（k－1）x＋1的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（　D　） A. 1 B. －1 C. 2或－2 D. 3或－1 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的变量x，y的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 0 1 … y … －11 －5 －1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似解x1的取值范围是（　C　） A. －3＜x1＜－2 B. －2＜x1＜－1 C. －1＜x1＜0 D. 0＜x1＜1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图所示为二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知，关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是（　D　） A. －1＜x＜5 B. x＞5 C. x＜－1且x＞5 D. x＜－1或x＞5 （第4题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－1，p），B（4，q）两点，则不等式ax2－mx＋c≤n的解集是 　－1≤x≤4　. （第5题） －1≤x≤4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （第6题） （1） 写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根. 解：（1） 由图象可知，与x轴交于点（－1，0），（3，0）.∴ 方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－1，x2＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集. 解：（2） 由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－1＜x＜3. （3） 当0≤x≤3时，写出函数值y的取值范围. 解：（3） 由图象可知，当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是－4≤y≤0. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （4） 若方程ax2＋bx＋c＝k有一正一负两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解：（4） 由图象可知，若方程ax2＋bx＋c＝k有一正一负两个不相等的实数根，则k必须大于抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的纵坐标－3.∴ k的取值范围是k＞－3. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. （2024·江油期中）二次函数y＝（x－a）·（x－b）＋2（a＜b）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　A　） A. a＜m＜n＜b B. a＜m＜b＜n C. m＜a＜b＜n D. m＜a＜n＜b A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.（1） 在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把A叫做“整点”.例如：B（3，0），C（－1，3）都是“整点”.（2） 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标即方程ax2＋bx＋c＝0的解.已知抛物线y＝ax2－2ax＋a＋2（a＜0）与x轴交于M，N两点，若该抛物线在点M，N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　A　） A. －2≤a＜－1 B. －1≤a＜0 C. －1≤a＜－ D. －2≤a＜0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 若对于任意实数a，抛物线y＝x2＋2ax＋a＋b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 　b≤－ 　. 10. 已知直线y1＝kx－4k经过抛物线y2＝ax2－4ax（a≠0）的顶点，且当x＜2时，y1＞y2. （1） 直线y1与抛物线y2都经过同一个定点，这个定点的坐标是  　（4，0）　. （2） 当y2＞y1时，x的取值范围是 　2＜x＜4　. b≤－ 　 （4， 0） 2＜x＜4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x－1）2＋4 （a为常数，且a≠0）的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与一次函数y＝mx＋3（m为常数，且m≠0）的图象相交于y轴，交点为C. （第11题） （1） 求二次函数的表达式. 解：（1） 在y＝mx＋3中，令x＝0，则y＝3.∴ C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x－1）2＋4，得3＝a＋4，解得a＝－1.∴ y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 如图②，若一次函数图象也经过点B，且a（x－1）2＋4＞mx＋3，根据图象，写出x的取值范围. （第11题） 解：（2） 令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴ B（3，0）.由图象可知，a（x－1）2＋4＞mx＋3的x的取值范围是0＜x＜3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 若二次函数图象与一次函数图象只有唯一公共点C，求m的值. 解：（3） 联立一次函数和二次函数，得－x2＋2x＋3＝mx＋3.整理，得x2＋（m－2）x＝0.∵ 二次函数图象与一次函数图象只有唯一公共点C，∴ Δ＝（m－2）2＝0，解得m＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $