24.1.4 圆周角 讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

口24.1.4圆周角 思维导图 圆周角 圆周角定理 等弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角 角 直角所对的弦是直径 圆的内接四边形 与垂径定理综合 歌 题型精析 圆周角 内容 圆周角定义 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 二.圆周角定理 图示 内容 【定理】圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 第1页共14页 o 【推论1】同弧或等弧所对的圆周角相等， B 【推论2】直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 0 三.圆的内接四边形 图示 内容 【性质】圆的内接四边形对角互补 E 题型一圆周角 例1 下列圆中既有圆心角又有圆周角的是() A B o" D 例2如图，在图中标出的∠1~∠5这5个角中，AD所对的圆周角是() 4 3 B A.∠5 B.∠1和∠2 C.∠3和∠4 D.∠1和∠3 第2页共14页 变1如图，BC所对的圆周角是 一，CD所对的圆周角是 o, B 变2 下图中所有相等的圆周角有多少对() B D A.1 B.2 C.3 D.4 题型二圆周角定理 例1如图，⊙0是△ABC的外接圆，已知∠AB0=50°，则∠ACB的大小为() A.25° B.30° C.40° D.50° 例2 如图，A,B,C是⊙0上的点，∠ABC=20°，OA∥BC,AB交0C于点D,则∠AD0的度数为 A.40 B.60 C.100 D.120 第3页共14页 例3如图，已知点A、B、C、D在O0上，弦AB、CD的延长线交O0外一点E,∠BCD=25°， ∠E=39,则∠APC的度数为 O. P D 变1 如图，AB是OO的直径，∠BOC=58°，D是⊙O上一点，连结AC、AD、DC,则∠ADC的大 小是( ) D B A.58° B.60° C.61° D.85 变2如图，点A,B,C,D在O0上，且AC=2AB,若∠A0B=24°，则∠BDC的度数为() D A.35° B.36° C.39° D.40° 变3如图，点A,B,C,D都在⊙0上，OB⊥OC,若∠A=65°，则∠C0D的度数为() A O B A. 30° B.35° C.40° D.50° 变4如图，A,B,C,D,E均在⊙0上，0B⊥OC,若∠A+∠D=150°，则∠ABE+∠DCE=() A.105° B.100° C.95° D.90° 第4页共14页 题型三等孤所对的圆周角相等 例1如图，CD是⊙0的直径，点A,B在⊙0上.若AC=BC,∠AOC=36°，则∠D=() B A.9° B.18 C.36 D.45° 例2如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在优弧AEB上.若 ∠AOD=58°，则∠DEB的度数为() E C A. 58° B.40° C.29 D.45° 变1如图，在⊙0中，0C⊥AB,∠ADC=32°，则∠B0C的度数是() D A. 649 B.58 C.32 D.26 变2如图，AD是O0的直径，AB=CD,若A0B=40°，则圆周角∠BPC的度数是() D O A A.40° B.50° C.60° D.70 变3如图，己知锐角三角形ABC内接于圆O,OD⊥BC于点D,连接OA,点E在线段OA上， OE=OD,连接DE,若∠ABC=75°，∠0ED=20°，则∠ACB的度数是() 第5页共14页 B E C A.30° B.35 C.45 D.50° 例3如图，己知四边形ABCD内接于⊙0，AC为其中一条对角线. 图① 图② (1)如图1，若LBAD=70,BC=CD,求∠CAD的大小； (2)如图2，若AD经过圆心O,连接0C,AB=BC,OC∥AB,求∠AC0的大小. 变4 在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为E. 《 C 图1 图2 (1)如图1，若∠BAD=90°，求证：DB平分∠ADC; (2)如图2，若AB=6,CD=8,DF是圆的直径，连接CF,求⊙0的半径. 题型四直径所对的圆周角是直角 例1 如图，AB为O0的直径，已知圆周角∠BCD=30°，则∠ABD=() 第6页共14页 R A. 609 B.50° C.40° D.30° 例2如图，△ABC内接于O0,CD是O0的直径，若LACD=30°，则∠B=_°. 变2如图，△ABC内接于⊙O,AB是OO的直径，点E是圆上一点，连接OE,CE,BE,且 OE∥BC,己知∠ABC=48°，则∠BCE的度数为 A B 正 变2如图，在O0中，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的一点，连接AC,BC,过点O作OD‖CB交 ⊙0于点D,连接CD,AD.若LCAB=40°，则LACD的度数为() A.60° B.65° C.70° D.75 题型五直角所对的弦是直径 例1 下列图形中的线段AB是圆的直径的是() 第7页共14页 B. A D 例2如图，圆A与坐标系交于B(4,0),C(0,3),且经过原点，则圆A的半径等于一 B注 变1如图，C经过原点，并与两坐标轴分别交于A,D两点，已知⊙C的半径为1，∠0BA=30°， 则0D的长为 y 0 变2如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0,2)，M为第三象限内OB上 一点，∠BM0=120°，则⊙C的半径为 y个 C B 题型六圆的内接四边形 例1如图，四边形ABCD是O0的内接四边形，AB为OO的直径，连结BD.若∠BCD=122°，则 ∠ABD的大小为() 第8页共14页 A. 589 B.48° C.42° D.32° 例2如图，四边形ABCD内接于⊙0，延长AD至点E,己知LA0C=140°，那么LCDE=() A.40 B.50 C.60 D.70 例3如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB=AC,点D,P分别在弧BC,弧AC上，若 ∠BDC=140°，则∠APC的度数为一 变1如图，四边形ABCD内接于⊙0，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠B0D=() B C E A. 128° B.100° C.120° D.132° 变2如图，AB为圆O的直径，点C,点D是圆O上的两个点，连接CA,CD,AD,若∠CAB=41°， 则∠ADC的度数是() D A 第9页共14页 A.139 B.131° C.130 D.121° 变3如图，四边形ABCD内接于O0,∠D=110°，∠CAB=50°，则∠AB0的度数为 D 题型七与垂径定理综合 例1如图，ABC内接于⊙0，∠A=45°，BC=2V5,则⊙0的半径为() 0。 B A.2W5 B.√10 C.2√2 D.√6 例2如图，Q0的半径为2，△ABC是⊙0的内接三角形，D为BC上一点，连接AD,CD.若 ∠ACD=75°，∠BAD=30°，则弦AB的长为() A.2 B.22 C.5 D.25 变司 如图，AB,AC是半径为1的⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连接DE,若 LA=45°，则DE的长为() 第10页共14页 ❊24.1.4 圆周角 思维导图 题型精析 一．圆周角 内容 圆周角定义 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 二．圆周角定理 图示 内容 【定理】圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半. 【推论1】同弧或等弧所对的圆周角相等. 【推论2】直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 三．圆的内接四边形 图示 内容 【性质】圆的内接四边形对角互补. 题型一 圆周角 下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（ ）例2 A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．变1    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 下图中所有相等的圆周角有多少对（ ）变2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆周角的概念进行判断即可得解. 【详解】如图所示， 所对的圆周角为：∠ACB和∠ADB； 所对的圆周角为：∠BAD和∠BCD； 所对的圆周角为：∠CAD和∠CBD； 所对的圆周角为：∠ABC和∠ADC； 共4对. 故选D. 题型二 圆周角定理 如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质定理，等边对等角，圆周角定理，先根据三角形内角和性质，等边对等角，求出，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ 即， ∵， ∴， 故选：C 如图，A，B，C是上的点，，，交于点D，则的度数为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，关键是熟练掌握圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理． 根据圆周角定理得出，平行线性质得出，结合三角形内角和定理即得． 【详解】解：，， ∴， ∵， ． 故选：D． 如图，已知点A、B、C、D在上，弦、的延长线交外一点E，，，则的度数为 ．例3 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据圆周角定理求得，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的一个外角，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故答案为： 如图，是的直径，，D是上一点，连结，则的大小是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵与所对的弧相同， ∴， 故选：C． 如图，点A，B，C，D在上，且，若，则的度数为（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，先得到，然后根据求出，再由求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， 故选：． 如图，点A，B，C，D都在上，，若，则的度数为（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，解答即可． 本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 如图，A，B，C，D，E均在上，，若，则（ ）变4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得，即得，再根据圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：，， ． 故选：A． 题型三 等弧所对的圆周角相等 如图，是的直径，点A，B在上．若，，则（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧之间的关系以及圆周角定理，解题的关键是利用等弧对等圆心角求出相关圆心角的度数，再结合圆周角与圆心角的关系计算角度． 由等弧可得等圆心角，再根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，求出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴． ∵是所对的圆周角，是所对的圆心角， ∴，即． 故选：B． 如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在优弧上．若，则的度数为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据题意得出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 如图，在中，，，则的度数是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角的性质及圆心角与弧的关系，熟练掌握圆周角的性质及圆心角与弧的关系是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接，点在线段上，，连接，若，，则的度数是（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交圆于点，连接，，，利用圆周角定理和垂径定理求出，，及的度数即可求解． 【详解】解：延长交圆于点，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵圆中于点，根据垂径定理可得：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线．例3 （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）四边形内接于，，则，即可求解； （2）连接，由， ，得；再由同弧所对的圆周角相等可得；由是的直径，得，从而求得． 【详解】（1）解：∵四边形内接于，， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∴． 在圆内接四边形中，，垂足为E．变4 （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 题型四 直径所对的圆周角是直角 如图，为的直径，已知圆周角，则（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据为直径，直径所对的圆周角是直角求得的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等求得的度数即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 如图，△ABC内接于，CD是的直径，若，则 ．例2 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由是的直径，则，所以，然后通过同弧所对的圆周角相等即可求解，掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 如图，△ABC内接于，是的直径，点E是圆上一点，连接，，，且，已知，则的度数为 ．变2 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由圆周角定理可得，求出，再由平行线的性质可得，，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，．若，则的度数为（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直径所对圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得的度数，根据平行线的性质，可得的度数，从而可得的度数，根据圆周角定理，即可得的度数． 【详解】解：∵在中，是的直径，是上的一点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型五 直角所对的弦是直径 下列图形中的线段是圆的直径的是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ．例2 【答案】//2.5 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，利用圆周角定理得出为圆的直径，再根据勾股定理求出的长度，进而得到圆的半径． 【详解】解：连接， ∵， ∴是圆的直径． ∵，， ∴，， 根据勾股定理，在中， ． ∴圆的半径为． 故答案为：． 如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ．变1 【答案】 【分析】如图，连接，根据圆周角定理得到则为直径，即点在上，，然后根据含角的直角三角形边的关系求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴为直径，即点在上， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦是直径，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握：的圆周角所对的弦是直径． 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，，点的坐标为，为第三象限内上一点，，则的半径为 ．变2 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及推论是解题关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求得，可得，通过含角的直角三角形的性质求得，根据圆的基本知识即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， 为的直径， 、、、四点共圆， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 的半径为． 故答案为：． 题型六 圆的内接四边形 如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（ ）例1 A． B．48° C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识．首先利用圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：D． 如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么（ ）例2 A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 如图，，是的两条弦，且，点，P分别在弧，弧上，若，则的度数为 ．例3 【答案】 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，最后依据圆内接四边形的性质求出的度数． 本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 故选：B． 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 如图，为圆的直径，点，点是圆上的两个点，连接，，，若，则的度数是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，连接，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 为圆的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故选：． 如图，四边形内接于，∠D=110°，，则的度数为 ．变3 【答案】/30度 【分析】此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．由四边形内接于，可得，根据圆周角定理得出，根据等边对等角得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 与垂径定理综合 如图，内接于，，，则的半径为（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，，可得，根据勾股定理在中求出，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， 即的半径为． 故选：B 如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（ ）例2 A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆周角定理，圆心角定理，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆周角的定理，圆心角定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故选：B． 如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（ ）变1 A．1 B． C．1.7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形中位线定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 如图，是△ABC的外接圆，，弦平分并交于点，弦，连接，，则的半径是（ ）变2 A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，圆周角定理，已知圆内接四边形求角度，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，然后根据勾股定理计算，得到的半径． 【详解】解：如图，连接并延长，交于， 四边形为的内接四边形， ， ， 平分， ， ， 为等边三角形，， ， 由勾股定理得：， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为， 故选：A． 如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由D是弧的中点得出，再根据等腰三角形三线合一得出，，由此证得是的中位线，即可得出，再利用证得和全等，得出由此根据半径的长求出的长，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，设交于点F， ∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点F是的中点， 又∵是直径， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 又∵半径为3， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得，． 故选：B． 课后强化 1.如图与相切于点为上点,则下列说法中错误的（ ） A．是圆心角 B．是圆周角 C．∠BDF是圆周角 D．是圆心角 【答案】C 【分析】根据圆周角和圆心角的定义去排除错误答案，顶点在圆心上的角且两边都和圆相交的角为圆心角，角度在圆周上且两边都和圆相交的角为圆周角. 【详解】解：根据圆周角和圆心角的定义去排除错误答案， A中是圆心角，正确； B中是圆周角，正确； C中是圆周角，错误，因为角的两边不都和圆相交，所以不是圆周角； D中是圆心角，正确； 2.下列说法正确的是（ ） A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角 C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 【答案】D 【详解】解：顶点在圆上，且与圆有相交的角是圆周角，则A和B是错误的；同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半， 故选D． 3.如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半解决即可． 【详解】解：∵与是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：B． 4.如图，△ABC是的内接三角形，连接，，若，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求得，然后代入即可求解，掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 5.如图，在中，半径，互相垂直，点C在劣弧上．若，则（ ） A．19° B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可． 【详解】解：连接， ， ， 半径，互相垂直， ， ， ， 故选：B． 6.如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角的性质，根据是的直径，可得，根据圆周角定理可知，根据三角形外角的性质可以求出，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 是的外角， ， ， ， . 故答案为：． 7.如图，为的直径，，为上的点，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系．连接，，由圆周角定理得出，结合求出的度数，再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8.如图，在中，为的直径，弦，∠AOC=60°，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据垂径定理和圆周角定理求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9.如图，已知是的直径，是弦，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，先根据圆周角定理由是的直径得到，再根据互余得到，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵和都是所对的圆周角， ∴． 故选：B． 10.如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． （1）若，，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果； 【详解】（1）解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是 20 ． （2）解：， ， ， ∴， ， ． 11.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（ ） A．48° B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补成为解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补可知得到，再根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知据此即可解答． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ， ∵所对圆周角是，所对圆心角是， ． 故选：B． 12.如图，四边形是的内接四边形，BE是的直径，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/116度 【分析】此题考查直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质． 由是的直径，得，求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：． 13.如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，由四边形是平行四边形，则，又四边形是圆内接四边形，所以，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14.如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 15.如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定理、圆周角定理等，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 16.如图，四边形内接于，，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 连接，延长至点，使，连接并延长交于点，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，延长至点，使，连接并延长交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的直径，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵． 故答案为：． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $