24.1.2 垂直于弦的直径 讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

❊24.1.3 弧、弦、圆心角 思维导图 题型精析 一．圆心角 内容 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角的范围 圆心角α的大小范围为0°＜α＜360°. 弧的度数 弧的度数等于它所对的圆心角的度数. 二．弧、弦、圆心角之间的关系 内容 定理 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对圆心角与弦都相等； 2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对圆心角与弧都相等 【总结】在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三个条件“知一得二”，一项相等，其余二项皆相等． 题型一 圆心角 下列图形中的角是圆心角的是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 下列说法正确的是（　　）变1 A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【答案】C 【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案． 【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角， ∴A、D错误，C正确； ∵圆心角α的取值范围是， ∴B错误． 故选：C． 图中是圆心角的是（　　）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角． 【详解】解：A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B 题型二 弧、弦、圆心角之间的关系 下列命题中，正确的是（ ）例1 ①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等． A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④ 【答案】C 【分析】根据所学定理和推论可知． 【详解】解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确． ②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误． ③在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误． ④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，弦也不等；故④正确． 故选C． 下列说法中，正确的是（　　）变1 A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等 B．优弧一定比劣弧长 C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等 D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 已知下列命题：变2 ①长度相等的两条弧所对的圆心角相等；②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于这条弦；④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等． 其中错误命题的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可． 【详解】等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误 直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题②错误 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③错误 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题④错误 综上，错误命题的个数为4个 故选：D． 题型三 利用三者关系求角度 如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理,等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 先利用垂径定理的推论得到，再根据角平分线的定义得到，则根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到的度数． 【详解】解：点是弧的中点， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 如图，是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若，则（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 本题先连接，，得到、均是等边三角形，求得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，然后根据等边对等角即可求解； 【详解】解：连接，，如图： ∵是是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由题可得：， ∴、均是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∴可设，则， ， ， ， ， 故选：D． 如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（ ）变3 A．15° B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质．首先根据可知，根据可求，根据等腰三角形的性质可求，根据，可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：B． 如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ）变4 A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴＝， ∴﹣＝﹣， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO＝（180°﹣∠AOC）＝×（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 题型四 利用三者关系求长度 如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”）例1 【答案】 【分析】本题考查了四量关系定理，取的中点D，连接，，得出根据，得出，从而得出，即可求出，从而得出答案． 【详解】解：取的中点D，连接，，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 如图，在中，满足，若，则长可能是（ ）变1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦之间的关系，取中点可得，据此判断即可． 【详解】解：取中点，连接交于，连接， ∵， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴各个选项中长可能是4， 故选：D． 如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ）例2 A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（ ）例3 A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：为的直径，于点F，如图，连接，设的半径为r， ∴，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径长是5， 故选：C． 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（ ）变2 A．8 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角与弦之间的关系，等边三角形的性质与判定，连接，根据圆心角与弦之间的关系和平角的定义可证明，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ．变3 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（ ）变4 A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵垂直平分半径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即圆的半径为， 故选：． 题型五 利用三者关系证明 如图，在中，弦，于，于．例1 （1）求证：． （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：；变1 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系．由垂径定理得到，而，得到，从而推出． 【详解】证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，是上的点，，分别交，于点．求证：变2 （1）； （2）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ； ； （2）证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 课后强化 1.下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 2.下列说法正确的个数有（ ） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等；⑥平分弦的直径，平分这条弦所对的弧. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据半圆的定义判断①；根据圆的面积公式和等圆的定义判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③④⑤；根据垂径定理的推论判断⑥． 【详解】解：半圆是弧，故①正确； 面积相等的两个圆半径相等，因此是等圆，故②正确； 在同圆或等圆中，所对的弦长相等的两条劣弧是等弧，两条优弧是等弧，故③错误； 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，故④错误； 等弧所对的圆心角相等，故⑤正确； 平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故⑥错误； 综上可知，正确的有①②⑤，共3个， 故选B． 3.观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（ ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 4.下列命题中，假命题是（ ） A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等 C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦 D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧 【答案】B 【分析】此题考查了弧、弦之间的关系，垂径定理的推论．根据弧、弦之间的关系，垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A. 如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等，是真命题，故选项不符合题意； B. 同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦有可能相等，选项是假命题，故选项符合题意； C. 如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，是真命题，故选项不符合题意； D. 如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，是真命题，故选项不符合题意； 故选：B 5.如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，于是即可判断选项中说法；由弧、弦、圆心角的关系可得，，进而可得，于是即可判断选项中说法；由可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，由三角形三边之间的关系可得，进而可得，于是即可判断选项中说法；由弧、弦、圆心角的关系可得，由垂径定理的推论可得，于是即可判断选项中说法；综上，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选项中说法正确，选项不符合题意； ， ， ， ， ， 故选项中说法正确，选项不符合题意； ， ， ， ， ， 故选项中说法错误，选项符合题意； ， ， ， 故选项中说法正确，选项不符合题意； 故选：． 6.如图，点、、、在上，且劣弧，连接、、、，若，则的度数为（ ） A． B． C．48° D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， ， 故选：D． 7.如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弦与圆心角的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；取的中点，连接，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而根据弦与圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即弧的度数为； 故答案为：． 8.如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度. 【答案】100 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，连接、、．根据圆心角、弧、弦的关系证明、均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出，再由圆周角定理求出，根据“”求出即可．熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 【详解】解：连接、、． 是半圆的直径， ， ， ， ， 、均是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9.如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为（ ） A．5 B．4 C．4.5 D．3 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ， ，， 点是弧的中点， ， ， ， ，设， 在中，则有， 解得， ， 故选：C． 10.如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）    A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】 连接交于F，由垂径定理得，，可证，接着证明得到，计算得，然后设，则，，最后利用勾股定理计算得到BC的长． 【详解】 解：连接交于F，如图， D是弧的中点， ， ， 是直径， ， ， ， E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即， 故选：C．    11.已知：如图，在中，弦．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧，弦与圆周角之间的关系， 先证明，再证明得到，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 12.如图，是的弦，是弧的中点． （1）连接，求证：垂直平分； （2）若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ❊24.1.3 弧、弦、圆心角 思维导图 题型精析 一．圆心角 内容 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角的范围 圆心角α的大小范围为0°＜α＜360°. 弧的度数 弧的度数等于它所对的圆心角的度数. 二．弧、弦、圆心角之间的关系 内容 定理 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对圆心角与弦都相等； 2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对圆心角与弧都相等 【总结】在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三个条件“知一得二”，一项相等，其余二项皆相等． 题型一 圆心角 下列图形中的角是圆心角的是（ ）例1 A． B． C． D． 下列说法正确的是（　　）变1 A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 图中是圆心角的是（　　）变2 A． B． C． D． 题型二 弧、弦、圆心角之间的关系 下列命题中，正确的是（ ）例1 ①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等． A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④ 下列说法中，正确的是（　　）变1 A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等 B．优弧一定比劣弧长 C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等 D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等 已知下列命题：变2 ①长度相等的两条弧所对的圆心角相等；②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于这条弦；④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等． 其中错误命题的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 利用三者关系求角度 如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ）例1 A． B． C． D． 如图，是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若，则（ ）例2 A． B． C． D． 如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）变1 A． B． C． D． 如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）变2 A． B． C． D． 如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（ ）变3 A．15° B． C． D． 如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ）变4 A．42° B．44° C．46° D．48° 题型四 利用三者关系求长度 如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”）例1 如图，在中，满足，若，则长可能是（ ）变1 A．1 B．2 C．3 D．4 如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ）例2 A． B．3 C． D．4 如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（ ）例3 A． B．4 C．5 D． 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（ ）变2 A．8 B．9 C．6 D．4 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ．变3 如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（ ）变4 A．4 B．2 C． D． 题型五 利用三者关系证明 如图，在中，弦，于，于．例1 （1）求证：． （2）若的半径为5，，求的长． 如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：；变1 如图，是上的点，，分别交，于点．求证：变2 （1）； （2）． 课后强化 1.下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 2.下列说法正确的个数有（ ） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等；⑥平分弦的直径，平分这条弦所对的弧. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（ ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 4.下列命题中，假命题是（ ） A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等 C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦 D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧 5.如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 6.如图，点、、、在上，且劣弧，连接、、、，若，则的度数为（ ） A． B． C．48° D． 7.如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ． 8.如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度. 9.如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为（ ） A．5 B．4 C．4.5 D．3 10.如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（　　）    A．5 B．3 C．2 D．1 11.已知：如图，在中，弦．求证：． 12.如图，是的弦，是弧的中点． （1）连接，求证：垂直平分； （2）若，，求的半径． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $