24.1.2 垂直于弦的直径 讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

❊24.1.2 垂直于弦的直径 思维导图 题型精析 一．垂径定理 图示 内容 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【总结】1.垂径定理可以总结为“一个垂径，两个中点”，并且“知一得二”； 2.在圆内，求与弦长有关的问题时，辅助线一般都是作弦的垂径，构造直角三角形. 题型一 垂径定理及其推论 如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）例1    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过审题， 根据是的直径，弦，依据垂径定理即可解答问题． 【详解】解：∵是的直径，弦， 由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知， ∴，故A正确；， ∴，故D正确； ∵，， ∴，故C正确； 故选：B． 如图，是的弦，根据下列条件填空： 变1 （1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ； （2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ； （3）如果，且，那么有 ， ， ．    【答案】 是的直径 【分析】（）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可； （）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可； （）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可． 【详解】解：（）∵是的直径，且于点， ∴，，； （）∵是的直径，且， ∴，，； （）∵，且， ∴是的直径，，． 如图，已知的直径弦于点则下列结论不一定成立的是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理得出，由此可判断A，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明，进而可判断C、D，而AE与OE不一定相等，由此可判断B． 【详解】∵的直径于点， ∴，故A选项结论成立； 在和中， ， ∴，故D选项结论正确； ∴，故C选项结论正确； 而AE与OE不一定相等，故B选项结论不成立； 故选：B． 题型二 根据垂径定理作图 如图，在平面直角坐标系中，的一段圆弧经过，，三点，则的半径是 ．例1 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；根据垂径定理的性质可知线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心，然后再根据勾股定理求得半径即可；熟知垂径定理的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作线段与线段的垂直平分线，交点即为圆心 由图可知点的坐标为： 的半径是 故答案为： 如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A、B、C，其中，则圆弧所在圆的圆心坐标为 ．变1 【答案】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可知弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案是： 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．例2 （1），均为格点，且经过，两点，作出的中点； （2），均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； （3），，，四点都在圆上，且，作出的中点； （4），均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【分析】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【详解】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）变2    （1）在图1中，画出劣弧的中点； （2）在图2的劣弧上找一点，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； （2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，． 【详解】（1）解：如图，点即为所求．    （2）如图，点即为所求．      题型三 利用垂径定理求长度 如图，在半径为6的中，弦，则点O到弦的距离是（ ）例1    A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理求出点O到弦的距离即可． 【详解】解：如图，连接，，过点O作于点C， 则， ∵，， ∴C为中点，， 在中，，， ∴， ∴ ∴点O到弦的距离是．    故选：B． 如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，AB=2，，，则的半径为（ ）例2    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点O作于点E，延长，二线交于点F，得到四边形是矩形，设则，连接，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F， ∵和均为直角， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 设则， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）变1 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先过O作OD⊥AB于D，连接OA，根据勾股定理求出OD的值，进而可求出OM的取值范围． 【详解】解：过O作OD⊥AB于D，连接OA， ∵OA=10，AB=16， ∴AD=AB=×16=8， ∴OD==6， ∴OD≤OM≤OA，即6≤OM≤10． ∴OM不可能为5， 故选：A． 如图，△ABC内接于，若，，则的半径是 ．变2 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得所在的直线是的垂直平分线，则三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解： 过点作，连接 ∵，， ∴所在的直线是的垂直平分线， ∴三点共线， ∴， 在中，， 设的半径是， 则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，CD=2，则EC的长为 ．变3 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． 根据垂径定理得出，设为x，则，根据勾股定理得出方程，求出x的值，连接，求出且，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， ∴； 连接， ∵， ∴且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，求的长.变4 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案． 【详解】解：作于M，于N，连接，， 由垂径定理得 勾股定理得：， 弦互相垂直， ， 于M，于N， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，．例3 （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，详见解析 (3)或8 【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案； （2）证明，得出，证出四边形是平行四边形，由（1）得，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 四边形是菱形； （3）解：，， ①如图1，当点在点左侧时， ， ， ， 在中，， ． ②如图2，当点在点右侧时， ， ， ， 在中，， ． 如图，点A，B，C是⊙O上的三点，．变5 （1）求证：平分； （2）过点O作于点E，交于点P．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得结论； （2）求出，，设，则，然后在中，利用勾股定理构建方程求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，O为圆心， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）得，平分， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：（舍去），， ∴． 题型四 利用垂径定理求平行弦长 如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为 ．例1 【答案】 【分析】作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到，再利用垂径定理得到，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨论解题即可． 【详解】作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，如图， 在中， 在中， 当圆心O在AB与CD之间时， 当圆心O不在AB与CD之间时， 即AB和CD之间的距离为， 故答案为：． 已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm．例2 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm.变1 A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是．变2 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 题型五 利用垂径定理求同心圆问题 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.例1 A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．例2 （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm．变1 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．变2 （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 【答案】(1)6;(2). 【分析】（1）根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA，在Rt△OCE中，就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，进而求出． 【详解】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111， 到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111 到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111＞80000 所以，到第6天所有鸡都会被感染； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA． ∵OA=5，OC=3，CD=4， ∴CE=2． 在Rt△OCE中，AE= ， ∴AC=AE-CE= ， ∵AC=BD， ∴AC+BD=． 答：这条公路在该免疫区内有（）千米． 考点：（1）垂径定理的应用；（2）勾股定理． 题型六 垂径定理的实际应用 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（ ）例1 A．4米 B．5米 C．6米 D．8米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：B． 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为．例2 （1）求截面圆的半径； （2）当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了______cm． 【答案】(1)截面圆的半径为； (2) 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用． （1）由垂径定理得，设球形的半径，则，由勾股定理解，即可得出结论； （2）求得，在中，利用勾股定理求得，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， 设球形的半径，则， 在中，， ， 解得， 截面圆的半径为； （2）解：由题意知， ， 在中，， ， ， 截面圆中的弦减少了； 故答案为： 如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（ ）变1 A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的应用，过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，则寸，，设圆的半径为x寸，利用勾股定理在中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求． 【详解】解：过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，如图 ∵， ∴，， 则寸，（寸）， 设圆的半径为x寸，则寸， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴圆材直径为（寸）． 故选：A． 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为 ．变2 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为O，的中点为M，的中点为N， 连接，，则，，且过圆心O， ∴，， 由题意，得，设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：． 课后强化 1.如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可得：，，进而得到，无法得到，即可得到答案． 【详解】解：是的直径，为弦，于点E， ，， B、D选项结论成立，不符合题意； ， ， A选项结论成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，符合题意， 故选C． 2.如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点，经过A，B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中画出圆心； （2）在图2中画出的中点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、垂径定理以及弦、弧、圆周角间的关系等知识点，灵活运用垂径定理是解题的关键． （1）由图1可知是直径，连接，作的垂直平分线，其与的交点即为所求； （2）根据垂径定理以及弦、弧、圆周角间的关系作图即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，点E即为所求． 3.如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则 ．    【答案】 【分析】连接，可求，可证，从而可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ， ， 为的中点， ， ， ， ． 故答案：． 4.如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到是解答的关键；连接，先根据垂径定理的推论得到，再利用勾股定理即可解答； 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径，直径, ∴, ∵， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 5.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A． B．14cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：C． 6.已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据题意正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图，连接，由垂径定理可得，然后分当C点位于优弧上和劣弧上两种情况，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的直径，，， ∴， 如图1：当C点位于优弧上时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2：当C点位于劣弧上时，同理可得：， ∵， ∴， ∴． 综上，的长为或． 故答案为或． 7.如图，，于点E，若的半径为3，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8.如图，在中，，连接． （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)16 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的判定与性质，勾股定理和垂直平分线的判定，熟练掌握垂径定理，勾股定理和垂直平分线的判定的应用是解题的关键． （）连接，，根据垂直平分线的判定即可求证； （）延长交于点，根据，，可得，从而得到，进而得到，可得到是的中位线，设，则，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵， ∴所在的直线是的垂直平分线， 延长交于点E， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 9.在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 【答案】或/7或1 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 10.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H． ∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F， ∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9， ∴，， ∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21， 在Rt△BCH中，根据勾股定理得：， 即PA＋PC的最小值为． 故答案为：． 11.在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【答案】或 【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可； 【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作 在中 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵AB//CD ∴AB与CD之间的距离即GH ∴AB与CD之间的距离为 ②如图，作，连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴EF=PD ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：B 13.如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 14.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 15.如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．连接，连接交于点H，设，根据列方程即可求得长度，进而得到半径． 【详解】 解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H， 设， 最高点E到地面的距离为6mm， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16.如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． （1）求桥拱的半径； （2）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【答案】(1)桥拱的半径是10米； (2)水面涨高了2米． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，半径，， 设桥拱的半径是米， ， （米， 拱高为4米， 米， ， ， ， 桥拱的半径是10米； （2）解：， （米， （米， （米， （米， 水面涨高了2米． 17.如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ❊24.1.2 垂直于弦的直径 思维导图 题型精析 一．垂径定理 图示 内容 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【总结】1.垂径定理可以总结为“一个垂径，两个中点”，并且“知一得二”； 2.在圆内，求与弦长有关的问题时，辅助线一般都是作弦的垂径，构造直角三角形. 题型一 垂径定理及其推论 如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）例1    A． B． C． D． 如图，是的弦，根据下列条件填空： 变1 （1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ； （2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ； （3）如果，且，那么有 ， ， ．    如图，已知的直径弦于点则下列结论不一定成立的是（ ）变2 A． B． C． D． 题型二 根据垂径定理作图 如图，在平面直角坐标系中，的一段圆弧经过，，三点，则的半径是 ．例1 如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A、B、C，其中，则圆弧所在圆的圆心坐标为 ．变1 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．例2 （1），均为格点，且经过，两点，作出的中点； （2），均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； （3），，，四点都在圆上，且，作出的中点； （4），均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）变2    （1）在图1中，画出劣弧的中点； （2）在图2的劣弧上找一点，使． 题型三 利用垂径定理求长度 如图，在半径为6的中，弦，则点O到弦的距离是（ ）例1    A．6 B． C． D．3 如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，AB=2，，，则的半径为（ ）例2    A．5 B． C． D． 如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）变1 A．5 B．6 C．7 D．8 如图，△ABC内接于，若，，则的半径是 ．变2 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，CD=2，则EC的长为 ．变3 如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，求的长.变4 如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，．例3 （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，，求的长． 如图，点A，B，C是⊙O上的三点，．变5 （1）求证：平分； （2）过点O作于点E，交于点P．若，，求的长． 题型四 利用垂径定理求平行弦长 如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为 ．例1 已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm．例2 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm.变1 A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是．变2 题型五 利用垂径定理求同心圆问题 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.例1 A．6 B． C． D． 如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．例2 （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm．变1 高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．变2 （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 题型六 垂径定理的实际应用 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（ ）例1 A．4米 B．5米 C．6米 D．8米 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为．例2 （1）求截面圆的半径； （2）当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了______cm． 如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（ ）变1 A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为 ．变2 课后强化 1.如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（ ）    A． B． C． D． 2.如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点，经过A，B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中画出圆心； （2）在图2中画出的中点E． 3.如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则 ．    4.如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 5.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A． B．14cm C． D． 6.已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为 ． 7.如图，，于点E，若的半径为3，则的长为 ．    8.如图，在中，，连接． （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点，若，求的长． 9.在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 10.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 11.在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 13.如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 14.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ） A． B． C． D． 15.如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 16.如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． （1）求桥拱的半径； （2）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 17.如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $