24.1.1 圆 讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

第24章 圆 ❊24.1.1 圆 思维导图 题型精析 一．圆的定义 图示 内容 [定义1]在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径. [定义2]圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 二．圆的相关概念 图示 内容 1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，如图，、是弦，是直径. 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以、为端点的弧记作，读作“圆弧”，或“弧”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 3.半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等，在同圆或等圆中，能互相重合的弧叫做等弧. 4.大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的是优弧，是劣弧. 三．圆中的最长弦 圆中的最长弦：直径. 四．圆的周长与面积 内容 周长 面积 五．点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则： 内容 点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内 题型一 圆的有关概念 下列说法正确的是（ ）例1 A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 说法错误的有（ ）例2 ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，3cm为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中 是弦， 是直径， 是以A为端点的劣弧， 是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上）变1 说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（ ）变2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 圆中弦的条数 如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）例1    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．变1 如图，在中，弦的条数是（ ）变2 A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 题型三 圆中的最长弦 小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（ ）例1 A． B． C． D． 的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．例2 如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（ ）变1    A．2 B．3 C．4 D．5 如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）变2 A．8 B．6 C． D． 题型四 圆的周长和面积 如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．例1    （1）求这个运动场的周长是多少米? （2）已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）例2      A． B．1600π C． D． 如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．变1 某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积．变2 课后强化 1.下列说法正确的是（ ） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 2.已知的半径为，则中弦的长度不可能是（ ） A．6 B．8 C．12 D．13 3.过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径． 4.点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5.已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 6.如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    7.小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（ ） A． B． C． D． 8.以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 9.已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（ ）    A． B． C． D． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 圆 ❊24.1.1 圆 思维导图 题型精析 一．圆的定义 图示 内容 [定义1]在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径. [定义2]圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 二．圆的相关概念 图示 内容 1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，如图，、是弦，是直径. 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以、为端点的弧记作，读作“圆弧”，或“弧”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 3.半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等，在同圆或等圆中，能互相重合的弧叫做等弧. 4.大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的是优弧，是劣弧. 三．圆中的最长弦 圆中的最长弦：直径. 四．圆的周长与面积 内容 周长 面积 五．点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则： 内容 点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内 题型一 圆的有关概念 下列说法正确的是（ ）例1 A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 说法错误的有（ ）例2 ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，3cm为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： ① 经过一个点P的圆有无数个，正确； ②以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； ③半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； ④以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误； 综上，错误的为④，即1个． 故选：A． 在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中 是弦， 是直径， 是以A为端点的劣弧， 是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上）变1 【答案】 ，， ，，   ， 【分析】本题考查圆中弦，直径，劣弧，优弧的定义，掌握知识点是解题的关键．根据圆的弦，直径，劣弧，优弧的定义即可解答． 解：由图，得：，，是弦，是直径，，，是以A为端点的劣弧，  ，是以A为端点的优弧． 故答案为：，，；；，，；  ，． 说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（ ）变2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、半圆、等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可． 【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误； ②半径相等的两个半圆是等弧，正确； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确； ④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误； ⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误； 综上，正确的有：②③，共2个， 故选：B． 题型二 圆中弦的条数 如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）例1    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．变1 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 如图，在中，弦的条数是（ ）变2 A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 题型三 圆中的最长弦 小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个．例2 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（ ）变1    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）变2 A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点的运动时间是解题关键． 根据最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答． 【详解】解：如图，当点运动到过圆心，即为直径时，最长， 由图（b）得，最长时为6，此时， ， ， 此时点路程为90度的弧， 点从点运动到点的弧度为270度， 运动时间为， 故选：B． 题型四 圆的周长和面积 如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．例1    （1）求这个运动场的周长是多少米? （2）已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用圆周长公式及矩形周长公式解答即可; （2）根据题意利用圆面积公式及矩形面积公式解答即可． 【详解】（1）解:∵一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的周长为:（米）, 故答案为:． （2）解:根据题意,运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的面积为:（平方米）, ∵塑胶跑道和草坪的面积比为, ∴塑胶跑道面积为：（平方米）, ∴草坪面积为：（平方米）, ∵每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高, ∴每平方米草坪的价格为:（元）, ∴总费用为:（元）, 故答案为:． 适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）例2      A． B．1600π C． D． 【答案】D 【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，      ∴设小圆的半径为，大圆的半径， ∵像素，， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故选：． 如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．变1 【答案】 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答． 【详解】∵周长为16的正方形， ∴正方形的边长4， ∴图中两个半圆的直径为4， 则其半径为2， 根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积．变2 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 课后强化 1.下列说法正确的是（ ） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误 【详解】解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定长度，故A错误； 选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为，故B正确； 选项C：优弧是大于半圆（）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如弧大于劣弧，但仍是劣弧），故C错误； 选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误； 故选B 2.已知的半径为，则中弦的长度不可能是（ ） A．6 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据直径是圆的最大的弦解答，即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的直径为， ∴中弦的长度小于等于， 故选：D． 3.过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径． 【答案】 无数 一 【分析】根据弦和直径的定义求解． 【详解】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径． 故答案为：无数，1． 【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 4.点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 5.已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 6.如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    7.小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积的计算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：∵小圆的直径是，大圆的半径是，， ∴小圆的周长是，大圆的周长是， ∴小圆周长是大圆周长的， 故选：A． 8.以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 9.已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的周长的计算，正确根据人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等列方程是解题的关键． 设每人向后挪动的距离是，则这个人在以为半径的圆周上，根据10人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等，即可列方程求解． 【详解】解：设每人向后挪动的距离为厘米． 根据题意得：， 故选：D． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $