4.1投影 同步习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

4.1投影 同步习题 一、单选题 1．如图，小红同学从走向路灯到离开路灯的过程中，她的影子的变化过程是（   ） A．由长变短 B．由短变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 2．如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（    ） A． B． C． D． 3．一个平行四边形的中心投影是（   ） A．与原来相似的平行四边形 B．与原来不相似的四边形 C．一条线段 D．以上均有可能 4．图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，、、、表示小明在地面上的活动区域．小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（　　） A．区域 B．区域 C．区域 D．区域 5．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是(　　) A．24 m B．25 m C．28 m D．30 m 6．如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（　　） A． B． C． D． 7．甲、乙两人身高相等，他们在同一路灯下影长的关系是(  ) A．一定相等 B．甲的比乙的长 C．乙的比甲的长 D．不确定 8．如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是（    ） A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．②①③④ 二、填空题 9．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是 （填写“平行投影”或“中心投影”） 10．把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为 ． 11．一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形 投影面；一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形 投影面. 12．如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是 ． 13．身高1.5米的小强站在旗杆旁，测得小强和旗杆在地面上的影长分别为2米和16米，则旗杆的高度为 米． 14．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米． 三、解答题 15．如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 16．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部沿方向走20步到处，发现自己的影子端点落在点处，作好记号后，从点沿方向走4步恰好到达点处，此时他影子的端点在点处，已知在同一水平线上，路灯的灯泡在上，，小王的步间距保持一致． (1)请在图中画出灯泡和影子端点的位置； (2)估计灯泡的高，并求出影长的步数． 17．如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 18．综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D B D A D B 1．D 【分析】此题考查了中心投影的性质，熟知平行投影与中心投影的区别是解题的关键． 根据中心投影的定义及特点即可判断． 【详解】解：由人在马路上走过一盏路灯的过程中，可知光线与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当人到达灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，当远离路灯时，则影子又开始变长； 故选：D． 2．D 【分析】利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； 【详解】解：设投影的面积为cm，，cm， 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方． 3．D 【分析】本题考查平行投影问题，根据中心投影得出平行四边形的投影图形解答即可． 【详解】解： 一个平行四边形的中心投影可能是与原来相似的平行四边形，也有可能是与原来不相似的四边形或一条线段， 故选：D． 4．B 【分析】考查了几何体的三视图以及盲区的定义． 若要同时看到建筑物的三个侧面，那么小明所处的位置在三个侧面所在平面的公共区域，由此进行判断． 【详解】当小明在、区域时，只能看到建筑物的一个侧面， 当小明在区域时，只能看到建筑物的两个侧面， 由于区域时建筑物三个侧面的公共区域，因此小明在区域时，可看到建筑物的三个侧面； 故选：B． 5．D 【详解】由题意可得：EP∥BD， 所以△AEP∽△ADB， 所以， 因为EP=1.5，BD=9， 所以， 解得：AP=5， 因为AP=BQ，PQ=20， 所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30， 故选：D． 点睛：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用，应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 6．A 【分析】过点A作于点C，根据解直角三角形即可求得． 【详解】解：过点A作于点C， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 7．D 【详解】因为两人位置不确定．所以影长不确定． 8．B 【分析】根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短再变长． 【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．可知先后顺序是④③①②． 故选：B． 【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 9．中心投影 【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可． 【详解】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影． 故答案是中心投影． 【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 10． 相同 不相同 一条线段 【分析】本题考查正投影，理解正投影的定义是解答的关键．根据光线照射角度不同，得到投影形状不同分析解答即可． （1）根据投影面与物体平行时，正投影与物体大小、形状相同求解即可； （2）根据投影面与物体不平行时，正投影与物体大小、形状不相同求解即可； （3）根据投影面与物体垂直时，正投影是一条线段求解即可． 【详解】解：（1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小相同， 故答案为：相同； （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不相同， 故答案为：不相同； （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段， 故答案为：一条线段． 11． 平行 不平行于 【分析】根据投影性质作答即可. 【详解】解：由投影定义可知,当正投影后的形状、大小不改变时,图形平行投影面,当投影后的形状、大小改变时,图形不平行投影面, 【点睛】本题考查了正投影的实际应用,属于简单题,熟悉正投影的概念是解题关键. 12．/ 【分析】本题考查了中心投影，将中心投影问题转化为相似三角形问题是解题的关键．过点作轴于点，根据题意得：，，，由可得：，推出，求出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意得：，，， 点的坐标为， ， ， ， ，即， 解得：， ， 点的坐标是， 故答案为：． 13．12 【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比求得答案即可． 【详解】设旗杆高度为x米， 根据题意得： 解得：x＝12， 故答案为：12． 【点睛】考核知识点: 相似三角形的应用．理解相似三角形性质是关键. 14．6.4 【分析】根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题. 【详解】解：由题可知：, 解得：树高=6.4米. 【点睛】本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键. 15．见解析 【分析】本题考查作正投影，关键是在画图时要弄清投影面及投影方向，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线． 【详解】投影线从前向后的正投影是带有两条线的矩形，如图． 16．(1)答案见详解； (2)路灯的高为9米，影长为步． 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质， （1）如图所示，延长交路灯灯柱于点O，再连接并延长交延长线于点Q即可； （2）先证明，利用相似三角形对应边成比例可求出，同理证，利用相似三角形对应边成比例求出． 熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，路灯O和影子端点Q为所求； （2）解：根据题意知：，步，步，， ， ， ，即， 解得； ， ， 即， 解得； 答：估计路灯的高为9米，影长为步． 17．6 【分析】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法．延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点，利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：如解图，延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点， 点， ， ， ， ， 即，解得， 木杆在轴上的投影长是6． 18．(1)见解析 (2)路灯P离地面的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质： （1）利用中心投影的性质进而得出P点和H点位置； （2）利用相似三角形的判定与性质得出，同理可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点P、线段即为所求， 延长于点P，找到路灯 P 的位置，连接并延长，交射线于点H，即为人在路灯下的影子． （2）解：∵， ∴， 即 ① ∵， ∴， 即 ② 由①②得 解得 解得． 答：路灯P离地面的高度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $