第三章圆锥曲线的方程单元测试-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.椭圆+=1的离心率是 (　　)

A.   B.   C.   D.

2.“k<2”是“方程+=1表示双曲线”的 (　　)

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

3.已知两定点M(0,-1),N(0,1),直线l:y=x+,则在l上满足|PM|+|PN|=2的点P的个数为                                                                                                                 (　　)

A.0    B.1    C.2   D.0或1或2

4.抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为              (　　)

A.   B.-    C.±   D.-

5.如图1,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,|F1F2|为半径的圆与两条渐近线交于A,B,C,D四点,∠ACB=90°,则双曲线的离心率为              (　　)

A.2   B.   C.   D.3

图1

6.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中,完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定义进行了证明.他指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线.现有方程x2+y2+3x-4y+=(3x-4y)2表示的圆锥曲线的离心率为              (　　)

A.   B.1   C.3   D.5

7.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,椭圆C的离心率为,M为蒙日圆上一个动点,过点M作椭圆C的两条切线,与蒙日圆分别交于P,Q两点,则△MPQ面积的最大值为(　　)

A.3b2    B.2b2   C.b2   D.6b2

8.在矩形ABB'A'中,|A'A|=8,|AB|=6,把边AB分成n等份,在B'B的延长线上,以B'B的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点A'作直线,过B'B延长线上的对应分点和点A作直线,这两条直线的交点为P,如图2所示,建立平面直角坐标系,则点P满足的方程可能是              (　　)

图2

A.+=1(x≥4,y≥0)    B.+=1(x≥8,y≥0)

C.-=1(x≥4,y≥0)    D.-=1(x≥8,y≥0)

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的不得分,部分选对的得2分.

9.已知椭圆Ω:+=1(a>b>0),则下列结论正确的是 (　　)

A.若a=2b,则Ω的离心率为

B.若Ω的离心率为,则=

C.若F1,F2分别为Ω的两个焦点,直线l过点F1且与Ω交于点A,B,则△ABF2的周长为4a

D.若A1,A2分别为Ω的左、右顶点,P为Ω上异于点A1,A2的任意一点,则PA1,PA2的斜率之积为-

10.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派把(≈0.618)称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线E:-y2=1(a>0)的左、右顶点分别为A1,A2,虚轴的上端点为B,左焦点为F,离心率为e,则              (　　)

A.a2e=1

B.·=0

C.顶点到渐近线的距离为e

D.△A2FB的外接圆的面积为π

11.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线y2=2px(p>0),弦AB过焦点F,△ABQ为其阿基米德三角形,则下列结论一定成立的是(　　)

A.存在点Q,使得·>0

B.·=||·||

C.对于任意的点Q,必有向量+与向量a=(-1,0)共线

D.△ABQ面积的最小值为p2

 

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.已知抛物线y=mx2的准线方程为y=,则实数m=　　　　. 

13.双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,则该双曲线的离心率为　　　　,若E上的点A满足AF2⊥F1F2,其中F1,F2分别是E的左、右焦点,则sin∠AF1F2=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 

14.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的面积为2π,两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形,若过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,则△OAB面积的最大值为　　　　. 

 

 

 

 

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+;②C的焦距为6;③C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.

问题:已知双曲线C:-=1,　　　　,求C的方程. 

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.