第一章 空间向量与立体几何 单元测试-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面ABC的一个法向量的是 ( )
A.(1,2,3) B.(3,2,1) C.(2,3,6) D.(6,3,2)
2.在空间直角坐标系中,直线l的一个方向向量为m=(-1,0,3),平面α的一个法向量为n=(1,
,2),则直线l与平面α所成的角为 ( )
A.
B.
C.
D.
3.如图1,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=
,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为 ( )
A.(1,1,1) B.(
,,1) C.(
,,1) D.(
,,1)
图1 图2 图3
4.如图2,在四面体OABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=2GG1,若
=x
+y
+z
,则(x,y,z)为 ( )
A.(
,,) B.(
,,) C.(
,,) D.(
,,)
5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图3,在阳马P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,E,F分别为PD,PB的中点,点G满足
=λ
(0<λ<1),PA=4,AB=2,若OG∥平面CEF,则λ= ( )
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A.
B. C. D.
6.已知矩形ABCD中,AB=2,BC=2
,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则|
|= ( )
A. B.
C.
D.4
7.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图4),其中四边形ABCD为矩形,EF∥AB,若AB=3EF,△ADE和△BCF都是正三角形,且AD=2EF,则异面直线DE与BF所成角的大小为 ( )
A.
B.
C. D.
图4 图5
8.如图5所示,在正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=3AA1=
A1B1=3,记侧面ABB1A1与底面ABC,侧面ABB1A1与侧面BCC1B1以及侧面ABB1A1与截面A1BC的夹角分别为α,β,γ,则 ( )
A.γ<β=α B.α=β<γ C.β<α<γ D.α<β<γ
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知空间中三点A(0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的有 ( )
A.|
|= B.∥
C.·=1 D.在上投影向量的长度为
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F,G分别为棱AB,AA1,C1D1的中点,下列结论正确的是 ( )
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A.BD1⊥平面ACB1 B.四面体ACB1D1的体积等于
C.FG与平面ABCD所成角的正切值为
D.B1D1∥平面EFG
11.菱形ABCD的边长为4,∠A=60°,E为AB的中点(如图6),将△ADE沿直线DE翻折至△A'DE处(如图7),连接A'B,A'C,下列说法中正确的有 ( )
图6 图7
A.在翻折的过程中(不包括初始位置),平面A'EB与平面A'DE的夹角逐渐减小
B.若F为A'D中点,在翻折的过程中(不包括初始位置),点F到平面A'EB的距离恒为
C.若A'E⊥BC,则三棱锥A'-EBD的外接球半径为
D.若A'E⊥BC,点F为A'D的中点,则F到直线BC的距离为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知n1=(2,1,1)与n2=(0,2,1)分别为平面α与β的法向量,若α∩β=l,则直线l的一个方向向量为 .
13.如图8,在边长为2的正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,若沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则
(1)三棱锥S-EFG外接球的表面积为 ;
(2)点P为EF上的动点,则PG与平面SEF所成角中最大角的正弦值为 .(本题第一空2分,第二空3分)
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